Каково доказательство равенства высоты пирамиды и стороны ее основания в случае, когда вершины правильной треугольной

Los

3

Для начала, нужно определить, что такое высота пирамиды и сторона ее основания.

Высота пирамиды - это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

Основание пирамиды - это в данном случае треугольник ABC, образованный точками A, B и C.

Доказательство равенства высоты пирамиды и стороны ее основания можно провести с использованием векторного произведения векторов, определяющих стороны основания пирамиды.

Для начала, найдем векторы AB и AC:
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (3\sqrt{3}; 3; 0)\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (0; 6; 0)\]

Чтобы найти векторное произведение этих двух векторов, мы можем использовать формулу:
\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3\sqrt{3} & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \end{vmatrix}\]

Вычисляем данное выражение по формуле для определителя третьего порядка:
\[\begin{vmatrix} 3\sqrt{3} & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} \cdot \vec{i} - \begin{vmatrix} 3\sqrt{3} & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} \cdot \vec{j} + \begin{vmatrix} 3\sqrt{3} & 0 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \cdot \vec{k}\]
\[(3\sqrt{3} \cdot 0 - 3 \cdot 6) \cdot \vec{i} - (3\sqrt{3} \cdot 0 - 6 \cdot 0) \cdot \vec{j} + (3\sqrt{3} \cdot 3 - 6 \cdot 0) \cdot \vec{k}\]
\[-18 \cdot \vec{i} + 9\sqrt{3} \cdot \vec{k}\]

Теперь мы получили вектор, перпендикулярный плоскости основания пирамиды.

Координаты точки D равны (\sqrt{3}, 0, 1). Подставим координаты точки D в уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C:
\[x \cdot (3\sqrt{3} \cdot 0 - 6 \cdot 1) - y \cdot (3\sqrt{3} \cdot 1 - 3 \cdot 0) + z \cdot (3\sqrt{3} \cdot 3 - 0 \cdot 0) + 0 - 0 + 1 \cdot (-18 \cdot 0 + 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 0\]

Упрощаем данное уравнение:
\[-6y + 27z + 27 = 0\]
\[-6y + 27z = -27\]
\[-2y + 9z = -9\]

Таким образом, мы получили уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.
Из уравнения плоскости мы можем заметить, что коэффициент при y равен -2, а коэффициент при z равен 9.

Отсюда следует, что вектор нормали плоскости, проходящей через точки A, B и C, равен (-2, 9, 0).
И этот вектор совпадает с ранее найденным векторным произведением \(-18 \cdot \vec{i} + 9\sqrt{3} \cdot \vec{k}\).

Таким образом, мы доказали, что вектор, описывающий высоту пирамиды, совпадает с вектором, описывающим одну из сторон основания пирамиды.

Вывод: Высота пирамиды и сторона ее основания совпадают в данном случае.