Каково доказательство равенства высоты пирамиды и стороны ее основания в случае, когда вершины правильной треугольной

  • 11
Каково доказательство равенства высоты пирамиды и стороны ее основания в случае, когда вершины правильной треугольной пирамиды ABCD с координатами A (0; 0; 1), B (3√3; 3; 1), C (0; 6; 1) и D (√3; 3; 7)?
Los
3
Для начала, нужно определить, что такое высота пирамиды и сторона ее основания.

Высота пирамиды - это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

Основание пирамиды - это в данном случае треугольник ABC, образованный точками A, B и C.

Доказательство равенства высоты пирамиды и стороны ее основания можно провести с использованием векторного произведения векторов, определяющих стороны основания пирамиды.

Для начала, найдем векторы AB и AC:
AB=BA=(33;3;0)
AC=CA=(0;6;0)

Чтобы найти векторное произведение этих двух векторов, мы можем использовать формулу:
AB×AC=|ijk3330060|

Вычисляем данное выражение по формуле для определителя третьего порядка:
|33360|i|33060|j+|33063|k
(33036)i(33060)j+(33360)k
18i+93k

Теперь мы получили вектор, перпендикулярный плоскости основания пирамиды.

Координаты точки D равны (\sqrt{3}, 0, 1). Подставим координаты точки D в уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C:
x(33061)y(33130)+z(33300)+00+1(180+933)=0

Упрощаем данное уравнение:
6y+27z+27=0
6y+27z=27
2y+9z=9

Таким образом, мы получили уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.
Из уравнения плоскости мы можем заметить, что коэффициент при y равен -2, а коэффициент при z равен 9.

Отсюда следует, что вектор нормали плоскости, проходящей через точки A, B и C, равен (-2, 9, 0).
И этот вектор совпадает с ранее найденным векторным произведением 18i+93k.

Таким образом, мы доказали, что вектор, описывающий высоту пирамиды, совпадает с вектором, описывающим одну из сторон основания пирамиды.

Вывод: Высота пирамиды и сторона ее основания совпадают в данном случае.