Каково должно быть значение параметра а , чтобы функция f(x)=ax^7+6x+4 всегда возрастала независимо от значения х

Сокол

8

Чтобы функция \(f(x) = ax^7 + 6x + 4\) всегда возрастала независимо от значения \(x\), значение параметра \(a\) должно быть больше нуля (вариант 1). Давайте посмотрим почему.

Для того чтобы определить возрастание функции, нам нужно узнать, как изменяется ее значение при изменении аргумента \(x\). Если значения функции \(f(x)\) увеличиваются при увеличении \(x\), то функция возрастает.

Для начала, посмотрим на производную этой функции. Производная функции \(f(x)\) показывает скорость изменения функции относительно \(x\). Если производная положительна при всех \(x\), то функция возрастает.

Вычислим производную функции \(f(x)\) по \(x\):

\[
f"(x) = \frac{d}{dx} (ax^7 + 6x + 4)
\]

Для вычисления производной, мы используем правила дифференцирования. Производная суммы - это сумма производных, и производная произведения - это произведение производных. Давайте продифференцируем каждый член по отдельности:

\[
f"(x) = \frac{d}{dx} (ax^7) + \frac{d}{dx} (6x) + \frac{d}{dx} (4)
\]

После дифференцирования, мы получим:

\[
f"(x) = 7ax^6 + 6
\]

Теперь, чтобы функция \(f(x)\) возрастала независимо от значения \(x\), производная \(f"(x)\) должна быть положительной при всех \(x\).

Посмотрим на получившуюся производную, \(f"(x) = 7ax^6 + 6\). Чтобы она всегда была положительной, коэффициент \(7a\) должен быть положительным числом. Таким образом, чтобы функция \(f(x)\) всегда возрастала независимо от значения \(x\), параметр \(a\) должен быть больше нуля (вариант 1).

С другой стороны, если \(a\) было бы отрицательным числом (вариант 2), то производная \(f"(x)\) была бы отрицательной при всех \(x\), и функция \(f(x)\) бы убывала вместо возрастания.

Таким образом, ответ: значение параметра \(a\) должно быть больше нуля.