Каково изменение модуля импульса частицы за интервал времени с, если сила, действующая на нее, зависит от времени

  • 46
Каково изменение модуля импульса частицы за интервал времени с, если сила, действующая на нее, зависит от времени по закону , где – постоянные величины, – единичные орты в декартовой системе координат, а с. A = 2 Н, B?
Raduzhnyy_Mir_7836
54
Для решения этой задачи, нам придется применить второй закон Ньютона, который связывает силу, массу и изменение импульса.

В данной задаче нам дано выражение для силы, действующей на частицу:

\[ F(t) = At \]

где A и j - константы, t - время.

Известно, что изменение импульса (dp) равно интегралу силы по времени.

Изменение импульса \(\Delta p\) можно выразить следующим образом:

\[ \Delta p = \int_{t_1}^{t_2} F(t) \, dt \]

Теперь вставим наше выражение для силы:

\[ \Delta p = \int_{t_1}^{t_2} A t \, dt \]

Интегрируем выражение по времени t от \(t_1\) до \(t_2\):

\[ \Delta p = \frac{A}{2} \left( t_2^2 - t_1^2 \right) \]

Теперь подставим значения \(t_2 = t + \Delta t\) и \(t_1 = t\):

\[ \Delta p = \frac{A}{2} \left( (t + \Delta t)^2 - t^2 \right) \]

Раскроем скобки:

\[ \Delta p = \frac{A}{2} \left( t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - t^2 \right) \]

Упрощаем выражение:

\[ \Delta p = \frac{A}{2} \left( 2t\Delta t + (\Delta t)^2 \right) \]

Теперь рассмотрим случай, когда \(\Delta t\) близко к нулю и можно пренебречь его квадратом:

\[ \Delta p = \frac{A}{2} \cdot 2t\Delta t \]

Упрощаем выражение:

\[ \Delta p = A \cdot t\Delta t \]

Теперь мы можем сказать, что для малого интервала времени \(\Delta t\), изменение импульса \(\Delta p\) равно \(A \cdot t\Delta t\).

Однако, мы хотим найти изменение модуля импульса (|\(\Delta p\)|). Так как импульс - это векторная величина, его модуль равен абсолютному значению этого вектора. Поэтому:

\[ |\Delta p| = |A \cdot t\Delta t| \]

\[ |\Delta p| = A \cdot t\Delta t \]

Теперь мы замечаем, что импульс меняется пропорционально интервалу времени \(\Delta t\). Отсюда следует, что если интервал времени удвоится, то изменение импульса также будет удвоено.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что изменение модуля импульса частицы будет пропорционально времени \(t\) и постоянной \(A\), а при удвоении времени \(t\) изменение модуля импульса также удвоится.