Каково изменение модуля импульса частицы за интервал времени с, если сила, действующая на нее, зависит от времени

Raduzhnyy_Mir_7836

54

Для решения этой задачи, нам придется применить второй закон Ньютона, который связывает силу, массу и изменение импульса.

В данной задаче нам дано выражение для силы, действующей на частицу:

$$F(t)=At$$

где A и j - константы, t - время.

Известно, что изменение импульса (dp) равно интегралу силы по времени.

Изменение импульса $\mathrm{\Delta }p$ можно выразить следующим образом:

$$\mathrm{\Delta }p={\int }_{t_1}^{t_2}F(t)dt$$

Теперь вставим наше выражение для силы:

$$\mathrm{\Delta }p={\int }_{t_1}^{t_2}Atdt$$

Интегрируем выражение по времени t от $t_1$ до $t_2$:

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{A}{2}(t_2^2-t_1^2)$$

Теперь подставим значения $t_2=t+\mathrm{\Delta }t$ и $t_1=t$:

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{A}{2}((t+\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2)$$

Раскроем скобки:

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{A}{2}(t^2+2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2)$$

Упрощаем выражение:

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{A}{2}(2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2)$$

Теперь рассмотрим случай, когда $\mathrm{\Delta }t$ близко к нулю и можно пренебречь его квадратом:

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{A}{2}\cdot 2t\mathrm{\Delta }t$$

Упрощаем выражение:

$$\mathrm{\Delta }p=A\cdot t\mathrm{\Delta }t$$

Теперь мы можем сказать, что для малого интервала времени $\mathrm{\Delta }t$, изменение импульса $\mathrm{\Delta }p$ равно $A\cdot t\mathrm{\Delta }t$.

Однако, мы хотим найти изменение модуля импульса (|$\mathrm{\Delta }p$|). Так как импульс - это векторная величина, его модуль равен абсолютному значению этого вектора. Поэтому:

$$|\mathrm{\Delta }p|=|A\cdot t\mathrm{\Delta }t|$$

$$|\mathrm{\Delta }p|=A\cdot t\mathrm{\Delta }t$$

Теперь мы замечаем, что импульс меняется пропорционально интервалу времени $\mathrm{\Delta }t$. Отсюда следует, что если интервал времени удвоится, то изменение импульса также будет удвоено.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что изменение модуля импульса частицы будет пропорционально времени $t$ и постоянной $A$, а при удвоении времени $t$ изменение модуля импульса также удвоится.