Сколько времени потребуется для того, чтобы ускорение частицы стало перпендикулярным оси х, если τ = 1 c, A = 2 м

Сладкая_Леди

58

Дано:
\(\tau = 1 \,c\) (секунд)
\(A = 2 \,м\) (метра)
\(B = 3 \,м\) (метра)
\(\omega = \frac{\pi}{2} \, \frac{\text{рад}}{\text{сек}}\) (радиан в секунду)

Мы знаем, что ускорение представляет собой вторую производную по времени от координаты. Для начала, определим заданные функции координат \(x(t)\) и \(y(t)\). Затем найдем ускорение \(a(t) = \ddot{x}\). После этого найдем время, при котором ускорение перпендикулярно оси \(x\).

1) Определение координат:
Для того чтобы найти функции координат, используем уравнения движения для гармонического осциллятора:

\[x(t) = A\cos(\omega t)\]
\[y(t) = B\sin(\omega t)\]

2) Находим ускорение \(a(t)\):
Дифференцируем дважды функцию \(x(t)\) и \(y(t)\), чтобы найти ускорение:

\[\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t)\]
\[\ddot{x}(t) = -A\omega^2\cos(\omega t)\]
\[\dot{y}(t) = B\omega\cos(\omega t)\]
\[\ddot{y}(t) = -B\omega^2\sin(\omega t)\]

3) Найдем время \(t\), при котором ускорение \(a(t)\) перпендикулярно оси \(x\):
Когда ускорение \(a(t)\) перпендикулярно оси \(x\), значит \(\ddot{x}(t) = 0\) и \(\cos(\omega t) = 0\).
Из уравнения \(\cos(\omega t) = 0\) получаем \(\omega t = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \(k\) - целое число.
Тогда \(\omega t = \frac{\pi}{2}\).
Делим обе стороны на \(\omega\), получаем:
\[t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\omega} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = 1 \, секунда\]

Таким образом, для того чтобы ускорение стало перпендикулярным оси \(x\), требуется 1 секунда. Таким образом, правильный вариант ответа - а) 1,333 с.