Каково количество целочисленных корней неравенства x² + 5x - 6

Sergey

12

Для решения этой задачи нам необходимо определить количество целочисленных корней неравенства \(x^2 + 5x - 6\).

Для начала, мы можем проанализировать коэффициенты данного квадратного уравнения, чтобы понять его свойства. В данном случае у нас имеется квадратный член с коэффициентом 1, линейный член с коэффициентом 5 и свободный член -6.

Чтобы найти целочисленные корни, мы можем использовать метод разложения на множители или формулу дискриминанта. Давайте рассмотрим оба подхода.

1) Метод разложения на множители:
Мы можем разложить выражение \(x^2 + 5x - 6\) на множители, чтобы выразить его в виде произведения двух скобок. Если у нас есть множитель, равный нулю, то соответствующий корень будет целочисленным.

Разложим выражение: \(x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)\)

Теперь нам нужно найти значения переменной \(x\), при которых одна из скобок равна нулю:
1) \(x - 1 = 0\), следовательно, \(x = 1\)
2) \(x + 6 = 0\), следовательно, \(x = -6\)

Итак, мы получили два целочисленных корня: \(x = 1\) и \(x = -6\).

2) Формула дискриминанта:
Если мы хотим использовать формулу дискриминанта, то сначала найдем его значение. В общем виде формула дискриминанта задается как \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае:

\(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -6\)

Подставим значения:

\(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\)

Теперь, исходя из значения дискриминанта, мы можем вывести количество корней:
- Если \(D > 0\), то у уравнения два различных вещественных корня;
- Если \(D = 0\), то у уравнения один двойной вещественный корень;
- Если \(D < 0\), то у уравнения нет вещественных корней.

В нашем случае \(D = 49 > 0\), поэтому у уравнения два различных вещественных корня. Однако, по условию задачи требуется найти только целочисленные корни. Когда мы смотрим на коэффициенты уравнения, мы видим, что у нас нет двух коэффициентов, оба из которых являются делителями свободного члена. Следовательно, дополнительных целочисленных корней у нас нет.

Таким образом, ответ на задачу состоит из двух целочисленных корней: \(x = 1\) и \(x = -6\).