Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных деталей будет находиться бракованная деталь из партии

Osa_9255

48

Для решения этой задачи нам необходимо использовать понятие вероятности. Перед тем, как мы приступим к решению, давайте сначала поясним, что такое вероятность.

Вероятность - это числовая характеристика события, принимающая значения от 0 до 1 и указывающая на то, какая часть всех возможных исходов ожидаемого случайного эксперимента будет удовлетворять данному событию. В данном случае, событием будет являться наличие одной или более бракованных деталей из общей партии из 12 деталей.

Чтобы найти вероятность этого события, нам необходимо знать общее количество равновозможных исходов и количество исходов, которые соответствуют данному событию.

Общее количество равновозможных исходов в данной задаче равно количеству возможных комбинаций, которые можно составить из 12 деталей. Это можно найти с помощью формулы сочетания:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где \( C_n^k \) - количество сочетаний из n элементов по k элементов, а \( n! \) обозначает факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n). В нашей задаче, n = 12 (всего 12 деталей), k = 1, 2, 3 (1, 2 или 3 бракованные детали). Поскольку нас интересуют все возможные варианты, где количество бракованных деталей может варьироваться от 1 до 3, мы должны сложить все сочетания для каждого значения k:

\[
C_{12}^1 + C_{12}^2 + C_{12}^3 = \frac{{12!}}{{1!(12-1)!}} + \frac{{12!}}{{2!(12-2)!}} + \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}}
\]

Для удобства вычислений воспользуемся фактами, что \( 0! = 1 \) и \( n! = n \times (n-1)! \). Мы можем упростить это выражение:

\[
\frac{{12!}}{{1!(12-1)!}} + \frac{{12!}}{{2!(12-2)!}} + \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} = \frac{{12}}{{1}} + \frac{{12 \times 11}}{{2}} + \frac{{12 \times 11 \times 10}}{{2 \times 3}}
\]

Таким образом, общее количество равновозможных исходов равно:

\[
12 + 66 + 220 = 298
\]

Теперь мы должны найти количество исходов, когда среди отобранных случайным образом деталей будет находиться бракованная деталь из партии из 12 деталей. В данной задаче этот исход может быть достигнут выбором одной из трех бракованных деталей из общего числа бракованных деталей равного 3 и выбором остальных не бракованных деталей из оставшихся 9 деталей из партии.

Таким образом, количество исходов для данного события можно выразить следующим образом:

\[
C_{3}^1 \times C_{9}^0 + C_{3}^2 \times C_{9}^1 + C_{3}^3 \times C_{9}^2 = \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}} \times \frac{{9!}}{{0!(9-0)!}} + \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} \times \frac{{9!}}{{1!(9-1)!}} + \frac{{3!}}{{3!(3-3)!}} \times \frac{{9!}}{{2!(9-2)!}}
\]

Подсчитав это выражение, мы получим:

\[
3 \times 1 + 3 \times 9 + 1 \times 36 = 3 + 27 + 36 = 66
\]

Таким образом, количество исходов для данного события равно 66.

Наконец, мы можем найти вероятность данного события, разделив количество исходов этого события на общее количество равновозможных исходов:

\[
P = \frac{{66}}{{298}} \approx 0.221
\]

Таким образом, вероятность того, что среди случайно отобранных деталей будет находиться бракованная деталь из партии из 12 деталей (где 3 детали бракованные), составляет примерно 0.221, или около 22.1%.