Каково количество корней у уравнения |x+3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра?

Малышка

1

Давайте рассмотрим уравнение \(|x+3|=a-x^{2}\) и выясним, сколько корней оно имеет в зависимости от значения параметра \(a\).

1. Начнем с того, что заметим модульные выражения \(|x+3|\) и \(a-x^{2}\). Из определения модуля мы знаем, что он всегда возвращает неотрицательное значение, поэтому оба выражения \(|x+3|\) и \(a-x^{2}\) должны быть положительными или равными нулю.

2. Рассмотрим выражение \(|x+3|\), которое означает "модуль от \(x+3\)". Модуль от числа всегда равен его абсолютной величине. Таким образом, мы можем записать:

\[|x+3| = \begin{cases} x+3, & \text{если } x+3 \geq 0, \\ -(x+3), & \text{если } x+3 < 0. \end{cases}\]

Разложим это условие на два случая:

- Случай 1: \(x+3 \geq 0\). Если \(x+3 \geq 0\), тогда \(|x+3| = x+3\).

- Случай 2: \(x+3 < 0\). Если \(x+3 < 0\), тогда \(|x+3| = -(x+3)\).

3. Теперь рассмотрим выражение \(a-x^{2}\) и найдем его диапазон значений:

Применим метод раскрытия скобок и получим квадратичное уравнение \(a-x^{2} = -x^{2}+a\).

Уравнение \(a-x^{2}\) представляет собой параболу с вершиной в точке \((0, a)\) и ветвями, направленными вниз. При \(x = 0\) значение функции равно \(a\), и с увеличением значения \(x\) значение функции \(a-x^{2}\) уменьшается.

4. Теперь посмотрим на два случая, которые соответствуют различным значениям модуля и параболы:

- Случай 1: \(x+3 \geq 0\). В этом случае \(|x+3| = x+3\), и уравнение принимает вид \(x+3 = a-x^{2}\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[2x^{2}+x-(a-3) = 0.\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = 1^{2}-4(2)(-(a-3))\).

Если \(D < 0\), то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если \(D = 0\), то квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два действительных корня.

- Случай 2: \(x+3 < 0\). В этом случае \(|x+3| = -(x+3)\), и уравнение принимает вид \(-(x+3) = a-x^{2}\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^{2}+x+(a+3) = 0.\]

Решим это квадратное уравнение также с помощью дискриминанта: \(D = 1^{2}-4(1)(a+3)\).

И снова, если \(D < 0\), то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если \(D = 0\), то квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два действительных корня.

5. Теперь сделаем сводную таблицу для количества корней в зависимости от значения параметра \(a\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Значение параметра } a & \text{Количество корней} \\
\hline
\text{любое} & \text{0, 1 или 2 корня} \\
\hline
\end{array}
\]

В итоге, количество корней у уравнения \(|x+3|=a-x^{2}\) зависит от значения параметра \(a\) и может быть равно 0, 1 или 2 корням.