Какие значения показателя дадут одинаковые значения для корня третьей степени из 6 и корня двенадцатой степени

Пушок

29

Чтобы найти значения показателя, при которых корень третьей степени из 6 и корень двенадцатой степени из 16 будут равны, мы можем использовать свойство степеней, которое гласит, что корень \(n\)-ой степени из числа \(a\) равен \(a^{\frac{1}{n}}\).

Давайте рассмотрим сначала корень третьей степени из 6. Мы можем записать это как \(6^\frac{1}{3}\).

И теперь рассмотрим корень двенадцатой степени из 16, который можно записать как \(16^\frac{1}{12}\).

Чтобы эти два выражения были равны, необходимо и достаточно, чтобы их числители и знаменатели были равными, то есть:
\[6^\frac{1}{3} = 16^\frac{1}{12}\]

Для удобства проведем некоторые преобразования. Возведем обе стороны уравнения в степень 12:
\[(6^\frac{1}{3})^{12} = (16^\frac{1}{12})^{12}\]

Поскольку степень 12 устраняет корень 12 из второго выражения, мы получаем:
\[6^4 = 16\]

Теперь проверим, какое минимальное значение показателя удовлетворяет этому уравнению. Возведем поочередно числа 6 в степень, пока не получим результат, равный 16:
\[6^1 = 6\]
\[6^2 = 36\]
\[6^3 = 216\]
\[6^4 = 1296\]

Таким образом, минимальное значение показателя, при котором корень третьей степени из 6 равен корню двенадцатой степени из 16, равно 4. Подставив это значение обратно в исходное уравнение, мы видим, что оба корня равны:
\[6^\frac{1}{3} = 16^\frac{1}{12}\]

Надеюсь, эта подробная и пошаговая информация помогла вам понять, какие значения показателя дадут одинаковые значения для данных корней. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.