Каково количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна или меньше

Магия_Моря

23

Для понимания задачи, давайте разберемся с основами комбинаторики. Шестизначное число представляет собой число, состоящее из шести цифр. Количество возможных вариантов для каждой цифры - от 0 до 9.

Сначала мы должны рассмотреть случай, когда сумма всех цифр равна. В этом случае, каждая цифра может быть любым числом от 0 до 6, так как сумма каждого варианта будет равна 6. Поэтому, для каждой позиции шестизначного числа у нас есть 7 возможных цифр (от 0 до 6).

Таким образом, количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна 6, будет равно \(7^6\), так как для каждой позиции мы имеем по 7 возможных вариантов.

Теперь рассмотрим случай, когда сумма всех цифр меньше 6. Мы должны учесть все возможные суммы: 0, 1, 2, 3, 4 и 5.

Для суммы 0 у нас есть только один вариант - каждая цифра должна быть равна 0.

Для суммы 1 у нас также есть только один вариант - одна цифра будет равна 1, а все остальные - нули.

Для суммы 2 у нас будет несколько вариантов. Вариантов будет столько, сколько способов можно распределить 2 "единицы" по всем шести позициям числа. Такие варианты можно представить в виде сочетаний с повторениями, где m - количество позиций, а n - количество единиц: С(m+n-1,n). В данном случае m=6, n=2, поэтому количество вариантов будет равно С(6+2-1,2).

Аналогично, мы можем рассмотреть случаи для сумм 3, 4 и 5. Для каждой суммы мы будет использовать сочетания с повторениями, чтобы найти количество вариантов.

Суммируя все найденные количество вариантов, мы найдем общее количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна или меньше 6.

Давайте вычислим этот результат.

Для случая, когда сумма всех цифр равна 6, имеем:
\[7^6 = 117649\]

Для случаев, когда сумма всех цифр меньше 6, используем сочетания с повторениями:
\[
C(6+2-1,2) + C(6+3-1,3) + C(6+4-1,4) + C(6+5-1,5) = 21 + 56 + 126 + 252 = 455
\]

Общее количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна или меньше 6, будет равно сумме этих двух результатов: 117649 + 455 = 118104.

Таким образом, количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна или меньше 6, составляет 118104.