Каково математическое доказательство того, что проекция суммы векторов перемещения на координатную ось эквивалентна

Суслик_5644

47

Алгеброй суммы проекций векторов на ось можно назвать сумму проекций каждого отдельного вектора на эту же ось. Давайте докажем это математически.

Пусть у нас есть два вектора перемещения, обозначим их как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Чтобы найти проекции этих векторов на ось, мы можем использовать скалярное произведение.

Проекцию вектора \(\vec{a}\) на ось обозначим как \(p_a\), а проекцию вектора \(\vec{b}\) на ось обозначим как \(p_b\).

Тогда проекцию суммы векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) на ось обозначим как \(p_{a + b}\).

Чтобы найти проекцию вектора \(\vec{a}\) на ось, мы можем использовать следующую формулу скалярного произведения:

\[p_a = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{u}}}{{\|\vec{u}\|}} \cdot \vec{u}\]

где \(\vec{u}\) - единичный вектор, направленный вдоль оси.

Аналогично, для проекции вектора \(\vec{b}\) на ось, мы имеем:

\[p_b = \frac{{\vec{b} \cdot \vec{u}}}{{\|\vec{u}\|}} \cdot \vec{u}\]

Теперь давайте рассмотрим проекцию суммы векторов \(\vec{a} + \vec{b}\):

\[p_{a + b} = \frac{{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{u}}}{{\|\vec{u}\|}} \cdot \vec{u}\]

Теперь давайте выполнять расчеты:

\[p_{a + b} = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{u} + \vec{b} \cdot \vec{u}}}{{\|\vec{u}\|}} \cdot \vec{u}\]

Здесь мы объединяем сумму векторов скалярного произведения по свойству линейности скалярного произведения.

Теперь вспомним, что скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

\(\vec{a} \cdot \vec{u} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{u}\| \cdot \cos(\theta_1)\)

\(\vec{b} \cdot \vec{u} = \|\vec{b}\| \cdot \|\vec{u}\| \cdot \cos(\theta_2)\)

где \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно, и вектором \(\vec{u}\).

Подставим эти значения в наше равенство:

\[p_{a + b} = \frac{{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{u}\| \cdot \cos(\theta_1) + \|\vec{b}\| \cdot \|\vec{u}\| \cdot \cos(\theta_2)}}{{\|\vec{u}\|}} \cdot \vec{u}\]

Далее упростим выражение:

\[p_{a + b} = (\|\vec{a}\| \cdot \cos(\theta_1) + \|\vec{b}\| \cdot \cos(\theta_2)) \cdot \vec{u}\]

Теперь вспомним, что косинусы углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\) можно выразить через проекции векторов на ось:

\(\cos(\theta_1) = \frac{{p_a}}{{\|\vec{a}\|}}\)

\(\cos(\theta_2) = \frac{{p_b}}{{\|\vec{b}\|}}\)

Подставим эти значения обратно в выражение:

\[p_{a + b} = (\|\vec{a}\| \cdot \frac{{p_a}}{{\|\vec{a}\|}} + \|\vec{b}\| \cdot \frac{{p_b}}{{\|\vec{b}\|}}) \cdot \vec{u}\]

Сократим некоторые выражения:

\[p_{a + b} = (p_a + p_b) \cdot \vec{u}\]

Таким образом, мы показали, что проекция суммы векторов перемещения на координатную ось эквивалентна алгебраической сумме проекций каждого отдельного вектора на ту же ось. Это доказывает утверждение.

Надеюсь, данное математическое доказательство позволяет лучше понять, почему сумма проекций векторов перемещения на координатную ось равна алгебраической сумме проекций каждого отдельного вектора на ту же ось. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.