Каково математическое доказательство того, что точка с является серединой отрезка?

Zolotoy_Vihr_985

35

Конечно, я могу помочь вам с этим математическим доказательством. Давайте начнем!

Чтобы доказать, что точка C является серединой отрезка AB, нам нужно показать, что она находится на равном расстоянии от концов этого отрезка. Для этого мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками на плоскости.

Пусть координаты точки A равны (x₁, y₁), а координаты точки B равны (x₂, y₂). Также предположим, что координаты точки C равны (x₃, y₃).

Шаг 1: Найдем расстояние между точками A и C, обозначим его как d₁. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\[ d₁ = \sqrt{{(x₃ - x₁)^2 + (y₃ - y₁)^2}} \]

Шаг 2: Теперь найдем расстояние между точками B и C, обозначим его как d₂. Используем ту же формулу:

\[ d₂ = \sqrt{{(x₃ - x₂)^2 + (y₃ - y₂)^2}} \]

Шаг 3: Теперь нам нужно показать, что d₁ равно d₂, чтобы доказать, что точка C является серединой отрезка AB. Для этого установим равенство:

\[ d₁ = d₂ \]

Шаг 4: Подставим значения d₁ и d₂ из формул в шаге 1 и шаге 2:

\[ \sqrt{{(x₃ - x₁)^2 + (y₃ - y₁)^2}} = \sqrt{{(x₃ - x₂)^2 + (y₃ - y₂)^2}} \]

Шаг 5: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[ (x₃ - x₁)^2 + (y₃ - y₁)^2 = (x₃ - x₂)^2 + (y₃ - y₂)^2 \]

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ x₃^2 - 2x₁x₃ + x₁^2 + y₃^2 - 2y₁y₃ + y₁^2 = x₃^2 - 2x₂x₃ + x₂^2 + y₃^2 - 2y₂y₃ + y₂^2 \]

Однако, заметим, что в этом уравнении многие члены сокращаются, а именно, \(x₃^2\), \(y₃^2\). Также, учтем, что точка C имеет те же координаты, что и точка (AB). Это значит, что \(x₁ = x₂\) и \(y₁ = y₂\).

Подставим эти значения и преобразуем уравнение:

\[ x₁^2 + y₁^2 - 2x₁x₃ - 2y₁y₃ + x₃^2 + y₃^2 = x₂^2 + y₂^2 - 2x₂x₃ - 2y₂y₃ + x₃^2 + y₃^2 \]

Упростим эту формулу:

\[ x₁^2 + y₁^2 - 2x₁x₃ - 2y₁y₃ = x₂^2 + y₂^2 - 2x₂x₃ - 2y₂y₃ \]

Шаг 7: Заметим, что левая и правая части этого уравнения идентичны. Это означает, что они равны между собой. Мы доказали, что точка C находится на равном расстоянии от концов отрезка AB, следовательно, C является серединой отрезка AB.

Данное доказательство может показаться сложным на первый взгляд, но оно основано на алгебраических преобразованиях и формулах, которые мы использовали для вычисления расстояний между точками. Если нужно, я могу объяснить каждый шаг подробнее.