Сколько мальчиков в классе, если известно, что среди любых 11 учащихся есть по крайней мере одна девочка, а среди любых

Орех

10

Давайте рассмотрим данную задачу подробнее и найдем ответ.

По условию задачи, среди любых 11 учащихся есть по крайней мере одна девочка. Это означает, что в классе не может быть только мальчиков. Кроме того, среди любых 12 учащихся есть по крайней мере один мальчик.

Для решения задачи мы можем использовать метод противоположного дополнения. Допустим, в классе находится \(x\) мальчиков. Тогда количество девочек в классе будет равно числу учащихся минус количество мальчиков, то есть \(N - x\), где \(N\) - общее количество учащихся в классе.

Мы знаем, что среди любых 11 учащихся есть по крайней мере одна девочка. Это означает, что максимальное количество мальчиков, которое может быть в классе, равно 10. Если в классе будет столько мальчиков, что количество девочек станет меньше 1, то условие задачи будет нарушено.

С другой стороны, мы также знаем, что среди любых 12 учащихся есть по крайней мере один мальчик. Значит, минимальное количество мальчиков, которое может быть в классе, равно 1.

Следовательно, количество мальчиков в классе может принимать значения от 1 до 10. Теперь мы можем рассмотреть каждое из этих значений и проверить, удовлетворяют ли они обоим условиям задачи.

При \(x = 1\):
Количество девочек: \(N - x = N - 1\).
Должно быть хотя бы одно мальчик в группе из 12 учащихся, следовательно, \(N - 1 \geq 1\).
Отсюда получаем, что \(N \geq 2\).

При \(x = 2\):
Количество девочек: \(N - x = N - 2\).
Должно быть хотя бы одно мальчик в группе из 12 учащихся, следовательно, \(N - 2 \geq 1\).
Отсюда получаем, что \(N \geq 3\).

и так далее, продолжим перебирать значения x от 1 до 10:

При \(x = 3\), \(N \geq 4\)
При \(x = 4\), \(N \geq 5\)
При \(x = 5\), \(N \geq 6\)
При \(x = 6\), \(N \geq 7\)
При \(x = 7\), \(N \geq 8\)
При \(x = 8\), \(N \geq 9\)
При \(x = 9\), \(N \geq 10\)
При \(x = 10\), \(N \geq 11\)

Таким образом, количество учащихся в классе (\(N\)) должно быть не меньше 2 (если в классе только 1 мальчик) и не меньше 11 (если в классе 10 мальчиков).

Ответ на задачу: количество мальчиков в классе может быть от 1 до 10, а количество учащихся в классе (\(N\)) должно быть не меньше 11.