Каково минимальное спектральное разрешение прибора, необходимого для различения первых шести линий в серии Лаймана?

Druzhok

29

Спектральное разрешение прибора определяет его способность различать две близкие величины. Для решения вашей задачи, давайте рассмотрим серию Лаймана, которая является набором спектральных линий, вызванных электронными переходами в атомах водорода.

Согласно формуле Лаймана, спектральные линии серии Лаймана водорода можно описать выражением:

\[
\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)
\]

где:
\(\lambda\) - длина волны спектральной линии,
\(R\) - постоянная Ридберга (\(1.097 \times 10^7\) м\(^{-1}\)),
\(n_1\) и \(n_2\) - главные квантовые числа (целые положительные числа, где \(n_2 > n_1\)).

Теперь мы можем найти спектральные линии серии Лаймана, используя \(n_1 = 1\) и \(n_2 = 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

Для различения этих спектральных линий, минимальное спектральное разрешение прибора должно быть достаточным для разделения близких значений \(\lambda\).

Мы можем найти минимальное спектральное разрешение, используя формулу:

\[
\text{Минимальное разрешение} = \frac{\Delta\lambda}{\lambda}
\]

где \(\Delta\lambda\) - разница в длине волн между двумя соседними спектральными линиями.

Чтобы найти различия в длине волн между двумя соседними спектральными линиями, мы можем использовать формулу Лаймана для разных значений \(n_2\) и \(n_1\) и найти разницу.

Вычислим разницу для каждой пары линий:

Для \(n_2 = 2\) и \(n_1 = 1\):
\[
\Delta\lambda_{2-1} = R\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right)
\]

Для \(n_2 = 3\) и \(n_1 = 2\):
\[
\Delta\lambda_{3-2} = R\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)
\]

Повторяя этот процесс для всех пар линий, мы получаем следующие значения:

\[
\Delta\lambda_{2-1} = 8.23 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]
\[
\Delta\lambda_{3-2} = 3.28 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]
\[
\Delta\lambda_{4-3} = 1.83 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]
\[
\Delta\lambda_{5-4} = 1.17 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]
\[
\Delta\lambda_{6-5} = 8.15 \times 10^{-9} \, \text{м}
\]
\[
\Delta\lambda_{7-6} = 6.06 \times 10^{-9} \, \text{м}
\]

Теперь мы можем найти минимальное спектральное разрешение, поделив эти различия в длинах волн на длину волны определенной спектральной линии (например, для \(\lambda_{2-1}\)):

\[
\text{Минимальное разрешение} = \frac{\Delta\lambda_{2-1}}{\lambda_{2-1}}
\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[
\text{Минимальное разрешение} = \frac{8.23 \times 10^{-8} \, \text{м}}{1.22 \times 10^{-7} \, \text{м}} \approx 0.6727
\]

Таким образом, минимальное спектральное разрешение прибора для различения первых шести линий в серии Лаймана составляет примерно 0.6727. Это означает, что прибор должен быть способен различать спектральные линии с разницей в длине волн около 0.6727.