Каково наименьшее значение функции y=x√x-18x+15 на заданном отрезке?

Татьяна

62

Для решения этой задачи воспользуемся методом дифференциального исчисления. Для начала, найдем производную функции \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\) по переменной \(x\).

\[
\begin{align*}
y &= x\sqrt{x} - 18x + 15 \\
y" &= \frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(18x) + \frac{d}{dx}(15) \\
\end{align*}
\]

Для нахождения производной функции \(x\sqrt{x}\), воспользуемся правилом производной произведения функций (формула дифференцирования произведения):

\[
\frac{d}{dx}(uv) = u"\cdot v + u \cdot v"
\]

где \(u = x\), а \(v = \sqrt{x}\).

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) &= x" \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \\
\frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) &= 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\
\frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) &= \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем производную по переменной \(x\) для функции \(-18x\):

\[
\frac{d}{dx}(-18x) = -18
\]

Так как производная постоянной функции равна нулю, производная по переменной \(x\) для функции 15 равна 0.

Теперь, собрав все части вместе, получим производную функции \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\):

\[
y" = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 18
\]

Для нахождения критических точек функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[
\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 18 = 0
\]

Для удобства, введем замену переменной. Обозначим \(u = \sqrt{x}\), тогда \(u^2 = x\).

\[
u + \frac{u^2}{2u} - 18 = 0
\]

Упростим уравнение, убрав знаменатель:

\[
2u + \frac{u^2}{u} - 36u = 0
\]

\[
2u + u - 36u = 0
\]

\[
3u - 36u = 0
\]

\[
-33u = 0
\]

\[
u = 0
\]

Теперь найдем значение переменной \(x\) с помощью замены \(u = \sqrt{x}\):

\[
\sqrt{x} = 0
\]

\[
x = 0
\]

Таким образом, нашли одну критическую точку функции \(x = 0\).

Для определения, является ли найденная критическая точка минимумом или максимумом, воспользуемся второй производной:

\[
y"" = \frac{d^2y}{dx^2}
\]

Для этого вычислим вторую производную функции \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\):

\[
\begin{align*}
y"" &= \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 18\right) \\
&= \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2\sqrt{x}}\right) - \frac{d}{dx}(18) \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 \\
&= \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\end{align*}
\]

Поскольку вторая производная \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) всегда положительна на отрезке, за исключением точки \(x = 0\), то это означает, что функция имеет минимум в точке \(x = 0\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\) на заданном отрезке будет достигаться при \(x = 0\).

Ансамбль!