Каково необходимое условие для того, чтобы неравенство 26a^2+10ab+b^2+2a+4> 0 было верным?

Yakobin

11

Чтобы неравенство \(26a^2+10ab+b^2+2a+4 > 0\) было верным, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого квадратного трехчлена был отрицательным.

Для начала, давайте проверим, что данный квадратный трехчлен является положительным. Мы можем это сделать, рассмотрев его дискриминант:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

В данном случае, коэффициент \(a = 26\), коэффициент \(b = 10a + 2 = 10a + 2a = 12a\), и коэффициент \(c = 1 + 4 = 5\). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[\Delta = (12a)^2 - 4(26)(5) = 144a^2 - 4 \cdot 26 \cdot 5 = 144a^2 - 520\]

Теперь нам нужно проверить, когда дискриминант \(\Delta\) будет отрицательным:

\[\Delta < 0\]

\[\Rightarrow 144a^2 - 520 < 0\]

Для решения этого неравенства, выразим \(a\):

\[144a^2 - 520 < 0\]

\[144a^2 < 520\]

\[a^2 < \frac{520}{144}\]

\[a^2 < \frac{65}{18}\]

Из этого неравенства можно заключить, что необходимо, чтобы значение \(a\) лежало в интервале \(-\sqrt{\frac{65}{18}} < a < \sqrt{\frac{65}{18}}\).

Таким образом, необходимое условие для того, чтобы неравенство \(26a^2+10ab+b^2+2a+4 > 0\) было верным, заключается в том, что значение \(a\) должно лежать в интервале \(-\sqrt{\frac{65}{18}} < a < \sqrt{\frac{65}{18}}\).