Каково отношение диаметра основания конуса к его образующей, если из круга был вырезан сектор с центральным углом

Радуга_На_Земле_4968

9

Давайте решим эту задачу пошагово.

Обозначим \(d\) - диаметр основания конуса, а \(l\) - его образующую. Чтобы найти отношение \(d\) к \(l\), сначала нужно выразить их через радиус круга и длину сектора.

1. Радиус круга (\(r\)) можно найти, разделив диаметр на 2: \( r = \frac{d}{2} \).

2. Длина окружности (\(C\)) круга с радиусом \(r\) выражается формулой \(C = 2 \pi r \). Мы знаем, что центральный угол вырезанного сектора равен 90 градусов, поэтому длина сектора (\(S\)) будет составлять четверть от длины окружности: \(S = \frac{C}{4} = \frac{2 \pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}\).

3. Образующая конуса (\(l\)) равна длине сектора (\(S\)), поэтому \(l = \frac{\pi r}{2}\).

4. Теперь мы можем выразить диаметр (\(d\)) через радиус (\(r\)) и образующую (\(l\)). Для этого удваиваем равенство, получаем \(2l = \pi d\), и делим обе части на \(\pi\). Таким образом, \(d = \frac{2l}{\pi}\).

5. Находим искомое отношение \(d\) к \(l\): \(\frac{d}{l} = \frac{\frac{2l}{\pi}}{l} = \frac{2}{\pi}\).

Таким образом, отношение диаметра основания к образующей конуса равно \(\frac{2}{\pi}\). Ответ: \(\frac{d}{l} = \frac{2}{\pi}\).