Каково отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него?

Chaynyy_Drakon

5

Для решения задачи, давайте рассмотрим регулярный шестиугольник ABCDEF. Представим, что радиусы окружностей, описанной вокруг шестиугольника и вписанной в него, равны соответственно R и r. Наша задача - найти отношение длин этих окружностей.

1. Рассмотрим окружность, описанную вокруг шестиугольника. Для нахождения длины ее окружности , мы должны вычислить ее диаметр. Поскольку мы знаем, что шестиугольник является регулярным, угол между любыми двумя радиусами, проведенными к смежным вершинам, составляет 60 градусов. Это значит, что треугольник, образованный центром окружности, вершиной шестиугольника и одним из радиусов, будет равносторонним треугольником. Следовательно, диаметр окружности, описанной вокруг шестиугольника, будет равен двум радиусам шестиугольника.

2. Теперь рассмотрим окружность, вписанную в шестиугольник. Для нахождения ее диаметра, нам понадобится знать длину одной из сторон шестиугольника. Поскольку шестиугольник регулярный, все его стороны и углы равны. Давайте обозначим длину одной стороны шестиугольника как s.

3. Используя свойство равностороннего треугольника, мы можем вычислить с помощью теоремы Пифагора длину одной из высот треугольника, проведенной к стороне шестиугольника:

\[h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{s^2 - \frac{s^2}{4}} = \sqrt{\frac{3s^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}s\]

Поскольку сторона шестиугольника является хордой окружности, вписанной в шестиугольник, диаметр этой окружности будет равен длине стороны плюс два радиуса. То есть, диаметр окружности вписанной в шестиугольник будет:

\[d = s + 2r\]

4. Теперь у нас есть выражения для диаметров обеих окружностей. Давайте найдем отношение длин окружностей:

\[\frac{\text{длина окружности, описанной вокруг шестиугольника}}{\text{длина окружности, вписанной в шестиугольник}} = \frac{2R \cdot \pi}{(s + 2r) \cdot \pi}\]

5. Мы можем сократить общий множитель \(\pi\) и получим итоговое отношение:

\[\frac{2R}{s + 2r}\]

Итак, отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него, равно \(\frac{2R}{s + 2r}\)