Каково отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него?

Chaynyy_Drakon

5

Для решения задачи, давайте рассмотрим регулярный шестиугольник ABCDEF. Представим, что радиусы окружностей, описанной вокруг шестиугольника и вписанной в него, равны соответственно R и r. Наша задача - найти отношение длин этих окружностей.

1. Рассмотрим окружность, описанную вокруг шестиугольника. Для нахождения длины ее окружности , мы должны вычислить ее диаметр. Поскольку мы знаем, что шестиугольник является регулярным, угол между любыми двумя радиусами, проведенными к смежным вершинам, составляет 60 градусов. Это значит, что треугольник, образованный центром окружности, вершиной шестиугольника и одним из радиусов, будет равносторонним треугольником. Следовательно, диаметр окружности, описанной вокруг шестиугольника, будет равен двум радиусам шестиугольника.

2. Теперь рассмотрим окружность, вписанную в шестиугольник. Для нахождения ее диаметра, нам понадобится знать длину одной из сторон шестиугольника. Поскольку шестиугольник регулярный, все его стороны и углы равны. Давайте обозначим длину одной стороны шестиугольника как s.

3. Используя свойство равностороннего треугольника, мы можем вычислить с помощью теоремы Пифагора длину одной из высот треугольника, проведенной к стороне шестиугольника:

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{s}{2}\right)}^2}=\sqrt{s^2-\frac{s^2}{4}}=\sqrt{\frac{3s^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$$

Поскольку сторона шестиугольника является хордой окружности, вписанной в шестиугольник, диаметр этой окружности будет равен длине стороны плюс два радиуса. То есть, диаметр окружности вписанной в шестиугольник будет:

$$d=s+2r$$

4. Теперь у нас есть выражения для диаметров обеих окружностей. Давайте найдем отношение длин окружностей:

$$\frac{\text{длина окружности, описанной вокруг шестиугольника}}{\text{длина окружности, вписанной в шестиугольник}}=\frac{2R\cdot \pi }{(s+2r)\cdot \pi }$$

5. Мы можем сократить общий множитель $\pi$ и получим итоговое отношение:

$$\frac{2R}{s+2r}$$

Итак, отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него, равно $\frac{2R}{s+2r}$