Каково отношение энергии электростатического поля, которая находится внутри шара w1, к энергии, которая находится

Buran

9

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание о формуле для энергии электростатического поля. Общая формула для энергии \(W\) электростатического поля с распределенным внутри зарядом можно записать как:

\[W = \frac{1}{2} \int \epsilon \cdot E^2 dV\]

Где \(\epsilon\) - диэлектрическая проницаемость среды, а \(E\) - сила электрического поля. В данном случае, диэлектрическая проницаемость внутри шара и в окружающем пространстве равны единице, поэтому формула может быть упрощена.

Теперь нам нужно разбить задачу на две части: энергию внутри шара \(W_1\) и энергию вне шара \(W_2\).

Для нахождения \(W_1\) нам нужно вычислить интеграл по объему шара. Поскольку заряд равномерно распределен внутри шара, мы можем пренебречь его зависимостью от координаты внутри шара и просто использовать формулу для энергии от одного точечного заряда:

\[W_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3 \cdot \epsilon \cdot E^2\]

Где \(r_1\) - радиус шара \(w_1\), а \(E\) - сила электрического поля на его поверхности.

Далее, чтобы найти \(W_2\), мы должны вычислить энергию поля вне шара. Это можно сделать, представив себе, что весь заряд, который находится внутри шара, сосредоточен в его центре. Тогда применяется формула для энергии между двумя точечными зарядами:

\[W_2 = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot E\]

Где \(Q\) - полный заряд в шаре \(w_1\).

Теперь мы можем найти отношение энергии электростатического поля внутри и вне шара:

\[\frac{W_1}{W_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3 \cdot \epsilon \cdot E^2}{\frac{1}{2} \cdot Q \cdot E}\]

Здесь можно заметить, что слагаемые \(\frac{1}{2}\) и \(E\) сокращаются, а также можно заменить заряд \(Q\) на \(4 \pi r_1^3 \cdot \rho\), где \(\rho\) - плотность заряда внутри шара:

\[\frac{W_1}{W_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3 \cdot \epsilon \cdot E^2}{4 \pi r_1^3 \cdot \rho \cdot E}\]

Теперь все радиусы шара сокращаются, и остается следующее соотношение:

\[\frac{W_1}{W_2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\epsilon \cdot E}{\rho}\]

И это и есть искомое отношение энергии электростатического поля, находящегося внутри шара \(w_1\), к энергии, которая находится вне шара \(w_2\).