Каково отношение FO1/O1O, если угол OFM равен 30 градусам?

Yagodka_6642

42

Чтобы найти отношение \(FO1/O1O\), нужно понять, как связаны эти отрезки на данной схеме. Для начала, давайте разберем, как обозначены точки на схеме.

На схеме даны точки \(F\), \(O1\), \(O\) и \(M\). Для удобства обозначения, давайте сопоставим этим точкам координаты. Пусть точка \(O\) будет началом координат, тогда мы можем считать, что точка \(O\) имеет координаты (0, 0).

Теперь, давайте обратим внимание, что угол \(OFM\) равен 30 градусам. Это говорит нам о том, что вектор \(OF\) и вектор \(OM\) образуют угол 30 градусов.

Обозначим координаты точки \(F\) как (x, y). Учитывая, что \(OF\) и \(OM\) - это векторы из точки \(O\) до точек \(F\) и \(M\) соответственно, можно записать следующие уравнения:

\[
\begin{cases}
x = FO \cdot \cos(30^{\circ}) \\
y = FO \cdot \sin(30^{\circ})
\end{cases}
\]

Мы знаем, что \(O1O\) - это прямая линия, а значит, точка \(O1\) будет иметь координаты (x, 0), так как она находится на оси X.

Теперь, когда у нас есть координаты точек \(F\), \(O1\), и \(O\), мы можем найти отношение \(FO1/O1O\). Оно будет равно:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{\sqrt{(x - x)^2 + (y - 0)^2}}{\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}}
\]

Заметим, что здесь \(x - x = 0\), а \(y - 0 = y\), поэтому упрощаем уравнение:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]

Сократим корни:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]

Теперь нам нужно выразить \(y\) через \(x\). Мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением, связывающим \(x\) и \(y\) для угла 30 градусов:

\[
\tan(30^{\circ}) = \frac{y}{x} \implies y = x \cdot \tan(30^{\circ})
\]

Подставляем это обратно в выражение:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x \cdot \tan(30^{\circ})}{\sqrt{x^2 + (x \cdot \tan(30^{\circ}))^2}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x \cdot \tan(30^{\circ})}{\sqrt{x^2 + x^2 \cdot \tan^2(30^{\circ})}}
\]

Теперь, давайте применим значение тангенса 30 градусов (\(\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)):

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{x^2 + x^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}}
\]

Сокращаем корни и упрощаем выражение:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{x^2 + \frac{x^2}{3}}}
\]

Упрощаем дробь и объединяем слагаемые в знаменателе:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{\frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{4x^2}{3}}}
\]

Выносим общий множитель за знак корня:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{\frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{(2x)^2}{3}}}
\]

Упрощаем дробь и сокращаем корень:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x}{\sqrt{(\frac{2x}{\sqrt{3}})^2}}
\]

Вспомним, что \(\sqrt{a^2} = |a|\), поэтому:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x}{|\frac{2x}{\sqrt{3}}|}
\]

Сокращаем \(x\) в знаменателе:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{x}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}
\]

Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе:

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
\]

Теперь, чтобы упростить дробь в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\):

\[
\frac{FO1}{O1O} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, если угол \(OFM\) равен 30 градусам, отношение \(FO1/O1O\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).