Каково отношение количества атомов водорода в состояниях 1s и 2s при температуре T=2720?

Зинаида

51

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие распределения электронов по различным энергетическим состояниям в атоме водорода.

Отношение количества атомов водорода в состояниях 1s и 2s можно определить с учетом двух основных факторов: энергии и статистической вероятности.

Первым шагом требуется учесть разность энергий между состояниями 1s и 2s. Энергия состояния атома водорода определяется формулой Ридберга:

\[E_n = -\frac{R_H}{n^2}\],

где \(E_n\) - энергия состояния n, \(R_H\) - постоянная Ридберга (13.6 эВ), а \(n\) - главное квантовое число.

Для состояния 1s (\(n=1\)) энергия будет:

\[E_{1s} = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ эВ}\].

Для состояния 2s (\(n=2\)) энергия будет:

\[E_{2s} = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \text{ эВ}\].

Следующим шагом необходимо учесть статистическую вероятность. В равновесии, количество атомов в состоянии с более низкой энергией будет больше. Статистическая вероятность определяется экспоненциальным распределением Больцмана:

\[P \propto e^{-\frac{E}{kT}}\],

где \(P\) - статистическая вероятность, \(\frac{E}{kT}\) - отношение энергии состояния к температуре, \(k\) - постоянная Больцмана (8.617333262145 \times 10^{-5}\, \text{эВ/К}), а \(T\) - температура в Кельвинах.

Вычислим вероятности для состояний 1s и 2s:

\[P_{1s} \propto e^{-\frac{-13.6}{8.617333262145 \times 10^{-5} \times 2720}} = e^{-674}\],

\[P_{2s} \propto e^{-\frac{-3.4}{8.617333262145 \times 10^{-5} \times 2720}} = e^{-168.5}\].

Для определения отношения количества атомов водорода в состояниях 1s и 2s можно использовать следующую формулу:

\[\frac{N_{2s}}{N_{1s}} = \frac{P_{2s}}{P_{1s}}\],

где \(N_{1s}\) и \(N_{2s}\) - количества атомов в состояниях 1s и 2s соответственно после учета статистической вероятности.

Теперь подставим значения статистических вероятностей:

\[\frac{N_{2s}}{N_{1s}} = \frac{e^{-168.5}}{e^{-674}}\].

Однако, при таких больших значениях экспоненты, точное численное значение отношения может быть очень большим или очень маленьким. Вместо этого, мы можем проанализировать отношение с помощью логарифмических свойств экспоненты:

\[\log \left(\frac{N_{2s}}{N_{1s}}\right) = \log(e^{-168.5}) - \log(e^{-674})\],
\[\log \left(\frac{N_{2s}}{N_{1s}}\right) = -168.5 + 674\],
\[\log \left(\frac{N_{2s}}{N_{1s}}\right) = 505.5\],
\[\frac{N_{2s}}{N_{1s}} = e^{505.5}\].

Таким образом, отношение количества атомов водорода в состояниях 1s и 2s при температуре T=2720K равно \(e^{505.5}\).