Каково отношение объемов большей и меньшей пирамиды, если высота пирамиды равна 11см и на расстоянии

Pylayuschiy_Zhar-ptica

30

Введем обозначения: пусть \(V_1\) и \(V_2\) - объемы большей и меньшей пирамид соответственно, а \(h\) - высота пирамиды, равная 11 см. Также пусть \(e\) - расстояние между вершинами пирамид.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся принципом подобия пирамид. Если две пирамиды подобны, то отношение их объемов равно кубу отношения соответствующих линейных размеров.

Построим прямую, соединяющую вершины пирамид. Эта прямая разбивает общую высоту пирамиды на две части: \(h_1\) и \(h_2\) (11 см = \(h_1\) + \(h_2\)), где \(h_1\) - высота большей пирамиды, а \(h_2\) - высота меньшей пирамиды.

Очевидно, что \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{V_1}{V_2}\) - отношение высот пирамид.

Теперь введем обозначение \(x\) - доля от общей высоты пирамиды \(h\), которая приходится на высоту большей пирамиды \(h_1\): \(x = \frac{h_1}{h}\).

Следовательно, \(h_1 = x \cdot h\) и \(h_2 = (1 - x) \cdot h\).

Теперь найдем отношение объемов пирамид: \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1^3}{h_2^3} = \frac{(x \cdot h)^3}{((1 - x) \cdot h)^3} = \frac{x^3 \cdot h^3}{(1 - x)^3 \cdot h^3} = \frac{x^3}{(1 - x)^3}\).

Мы знаем, что \(h = 11\) см, поэтому можем привести ответ к виду:
\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{x^3}{(1 - x)^3}\] при \(h = 11\).

Теперь решим это уравнение и найдем значение \(x\):
\[\frac{x^3}{(1 - x)^3} = \frac{(x \cdot (1 - x))^3}{(1 - x)^3} = (1 - x)^3.\]

Раскроем скобки: \((1 - x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3\).

Получаем следующее уравнение: \(1 - 3x + 3x^2 - x^3 = \frac{x^3}{(1 - x)^3}\).

Теперь решим это уравнение:
\[1 - 3x + 3x^2 - x^3 = \frac{x^3}{(1 - x)^3} \Rightarrow (1 - 3x + 3x^2 - x^3) \cdot (1 - x)^3 = x^3.\]

Раскроем скобки: \((1 - 3x + 3x^2 - x^3) \cdot (1 - x)^3 = (1 - 3x + 3x^2 - x^3) \cdot (1 - 3x + 3x^2 - x^3) \cdot (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^3\).

Получаем следующее уравнение:
\[x^3 = x^3.\]

Итак, получили уравнение, которое выполняется для любого значения \(x\). Это означает, что отношение объемов пирамид не зависит от доли \(x\) и равно 1:

\[\frac{V_1}{V_2} = 1.\]

Таким образом, объемы большей и меньшей пирамид равны.