Каково отношение периметров двух подобных четырехугольников, если отношение их площадей равно 25:64?

Звездный_Лис

67

Чтобы найти отношение периметров двух подобных четырехугольников, если известно, что отношение их площадей равно 25:64, мы можем воспользоваться свойствами подобных фигур.

Первым шагом мы знаем, что отношение площадей данных четырехугольников равно \(25:64\). Значит, пусть площадь первого четырехугольника равна \(25x\) (где \(x\) - произвольное положительное число), а площадь второго четырехугольника равна \(64x\) (25 и 64 являются коэффициентами пропорциональности).

Затем мы можем использовать свойство подобных фигур, согласно которому отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения длин соответствующих сторон. То есть

\[\frac{{\text{{площадь первого четырехугольника}}}}{{\text{{площадь второго четырехугольника}}}} = \left( \frac{{\text{{сторона первого четырехугольника}}}}{{\text{{сторона второго четырехугольника}}}} \right)^2\]

Пусть периметр первого четырехугольника будет равен \(P_1\), а периметр второго четырехугольника равен \(P_2\).

Теперь пошагово найдем отношение периметров этих двух четырехугольников.

Шаг 1: Найдем соотношение длин сторон.

Так как четырехугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Пусть \(\frac{{\text{{сторона первого четырехугольника}}}}{{\text{{сторона второго четырехугольника}}}} = k\), где \(k\) - некоторое положительное число.

Шаг 2: Найдем отношение периметров.

Периметр это сумма всех сторон фигуры. Поскольку соответствующие стороны пропорциональны, отношение периметров будет равно:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{\text{{сумма сторон первого четырехугольника}}}}{{\text{{сумма сторон второго четырехугольника}}}} \quad \text{(1)}\]

Шаг 3: Распишем суммы сторон.

Пусть стороны первого четырехугольника будут \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\), а стороны второго четырехугольника будут \(ka\), \(kb\), \(kc\), и \(kd\).

Тогда суммы сторон первого и второго четырехугольников будут соответственно:

\(\text{{сумма сторон первого четырехугольника}} = a + b + c + d\)

\(\text{{сумма сторон второго четырехугольника}} = ka + kb + kc + kd\)

Шаг 4: Подставим полученные значения в выражение (1).

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{\text{{сумма сторон первого четырехугольника}}}}{{\text{{сумма сторон второго четырехугольника}}}} = \frac{{a + b + c + d}}{{ka + kb + kc + kd}}\]

Шаг 5: Сократим общий множитель.

Если мы поделим числитель и знаменатель на общий множитель \(a\), то получим:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{\frac{{a}}{{a}} + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{\frac{{ka}}{{a}} + \frac{{kb}}{{a}} + \frac{{kc}}{{a}} + \frac{{kd}}{{a}}}} = \frac{{1 + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{k + \frac{{kb}}{{a}} + \frac{{kc}}{{a}} + \frac{{kd}}{{a}}}}\]

Шаг 6: Сравниваем с исходным отношением площадей.

Известно, что отношение площадей равно \(\frac{{25}}{{64}}\). Это значит, что:

\[\frac{{25}}{{64}} = \left( \frac{{\text{{сторона первого четырехугольника}}}}{{\text{{сторона второго четырехугольника}}}} \right)^2 = k^2\]

Решим последнее уравнение относительно \(k\):

\[k = \sqrt{\frac{{25}}{{64}}} = \frac{{5}}{{8}}\]

Итак, получили, что \(k = \frac{{5}}{{8}}\).

Шаг 7: Заменяем значение в выражении для отношения периметров.

Подставим \(k = \frac{{5}}{{8}}\) в выражение для \(\frac{{P_1}}{{P_2}}\) из шага 5 и получим:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{1 + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{k + \frac{{kb}}{{a}} + \frac{{kc}}{{a}} + \frac{{kd}}{{a}}}} = \frac{{1 + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{\frac{{5}}{{8}} + \frac{{5}}{{8}} \cdot \frac{{b}}{{a}} + \frac{{5}}{{8}} \cdot \frac{{c}}{{a}} + \frac{{5}}{{8}} \cdot \frac{{d}}{{a}}}}\]

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{1 + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{\frac{{5}}{{8}} + \frac{{5b}}{{8a}} + \frac{{5c}}{{8a}} + \frac{{5d}}{{8a}}}}\]

Таким образом, отношение периметров данных четырехугольников равно:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{1 + \frac{{b}}{{a}} + \frac{{c}}{{a}} + \frac{{d}}{{a}}}}{{\frac{{5}}{{8}} + \frac{{5b}}{{8a}} + \frac{{5c}}{{8a}} + \frac{{5d}}{{8a}}}}\]