Каково отношение периода обращения спутника, движущегося вокруг планеты Х по низкой круговой орбите, к периоду

Роза

5

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который устанавливает связь между периодом обращения спутника и радиусом орбиты.

Мы можем представить данную задачу с помощью следующих формул:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}
\]

где \(T\) - период обращения спутника, \(r\) - радиус орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная и \(M\) - масса планеты.

В данной задаче нам нужно найти отношение периода обращения спутника планеты "Х" (\(T_X\)) к периоду обращения спутника Земли (\(T_{\text{Земли}}\)). Мы можем записать это отношение следующим образом:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}}
\]

Так как объемы планет пропорциональны кубу их радиусов, то мы можем сказать, что:

\[
\frac{r_X^3}{r_{\text{Земли}}^3} = \frac{M_X}{M_{\text{Земли}}}
\]

где \(r_X\) и \(r_{\text{Земли}}\) - радиусы орбиты планеты "Х" и Земли, а \(M_X\) и \(M_{\text{Земли}}\) - массы планеты "Х" и Земли соответственно.

Теперь мы можем воспользоваться этими формулами для решения задачи.

1. Выразим отношение масс планеты "Х" и Земли (\(\frac{M_X}{M_{\text{Земли}}}}\)) через отношение плотностей:

Масса планеты определяется следующим образом:

\[
M = \rho \times V
\]

где \(\rho\) - плотность планеты, а \(V\) - ее объем.

Так как объемы планет пропорциональны кубу их радиусов, то можно записать:

\[
V_X = k \times r_X^3
\]
\[
V_{\text{Земли}} = k \times r_{\text{Земли}}^3
\]

где \(k\) - const.

Тогда:

\[
\frac{M_X}{M_{\text{Земли}}} = \frac{\rho_X \times V_X}{\rho_{\text{Земли}} \times V_{\text{Земли}}} = \frac{\rho_X \times k \times r_X^3}{\rho_{\text{Земли}} \times k \times r_{\text{Земли}}^3}
\]

По условию задачи плотность планеты "Х" в 4 раза больше плотности Земли:

\[
\frac{\rho_X}{\rho_{\text{Земли}}} = 4
\]

Тогда:

\[
\frac{M_X}{M_{\text{Земли}}} = \frac{\rho_X \times k \times r_X^3}{\rho_{\text{Земли}} \times k \times r_{\text{Земли}}^3} = \frac{4 \times k \times r_X^3}{1 \times k \times r_{\text{Земли}}^3} = 4 \times \frac{r_X^3}{r_{\text{Земли}}^3}
\]

2. Выразим отношение периодов через отношение радиусов:

Воспользуемся формулой для периода обращения:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}
\]

Тогда:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{r_X^3}{GM_X}}}{2\pi\sqrt{\frac{r_{\text{Земли}}^3}{GM_{\text{Земли}}}}}
\]

Подставим выражение для отношения масс планет:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{r_X^3}{G \times 4 \times r_{\text{Земли}}^3}}}{2\pi\sqrt{\frac{r_{\text{Земли}}^3}{G}}}
\]

Сократим \(\pi\) и знаки корня:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \frac{\sqrt{\frac{r_X^3}{4 \times r_{\text{Земли}}^3}}}{\sqrt{\frac{r_{\text{Земли}}^3}{1 \times G}}}
\]

Упростим дроби:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \sqrt{\frac{r_X^3}{4 \times r_{\text{Земли}}^3}} \times \sqrt{\frac{1 \times G}{r_{\text{Земли}}^3}}
\]

Заметим, что \(r_{\text{Земли}}^3\) сокращается:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \sqrt{\frac{r_X^3}{4}} \times \sqrt{\frac{1 \times G}{r_{\text{Земли}}^3}}
\]

А также \(G\) находится в обеих дробях:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \sqrt{\frac{r_X^3}{4}} \times \sqrt{\frac{1}{r_{\text{Земли}}^3}}
\]

Теперь мы можем заменить отношение масс планет (\(\frac{r_X^3}{r_{\text{Земли}}^3}})\) через отношение периодов:

\[
\frac{r_X^3}{r_{\text{Земли}}^3} = \frac{M_X}{M_{\text{Земли}}} = 4 \times \frac{T_X}{T_{\text{Земли}}}
\]

Подставим это в предыдущее выражение:

\[
\frac{T_X}{T_{\text{Земли}}} = \sqrt{\frac{4 \times T_X}{4}} \times \sqrt{\frac{1}{r_{\text{Земли}}^3}} = \frac{2\sqrt{T_X}}{r_{\text{Земли}}\sqrt[6]{r_{\text{Земли}}}}
\]

Теперь мы получили выражение для отношения периодов спутников.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как получить ответ на задачу. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!