Каково отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника? Выделены точки на сторонах

Pchela

63

Для начала, давайте разберемся с терминологией чтобы было понятно, о каких фигурах и точках идет речь. У нас есть исходный четырехугольник (предположим, это прямоугольник) и точки на его сторонах, которые делят их на три равные части. Давайте обозначим точки на сторонах четырехугольника как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).

Теперь, чтобы найти отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника, нам нужно определить, что такое серый четырехугольник. Предположим, что серым четырехугольником мы обозначаем фигуру, образованную соединением точек делителей сторон четырехугольника. Давайте обозначим точки пересечения делителей сторон как \(E\), \(F\), \(G\) и \(H\).

Теперь, для решения задачи, мы можем использовать свойства исходного и серого четырехугольников. Мы знаем, что фигуры, образованные точками делителей, делят каждую сторону на три равные части. Это означает, что отношение длины каждого сегмента точек делителей к длине соответствующей стороны исходного четырехугольника равняется \(1/3\).

Теперь давайте рассмотрим площади исходного и серого четырехугольников. Мы знаем, что площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной ее сторонами. Таким образом, площадь исходного четырехугольника равна сумме площадей прямоугольников, образованных его сторонами и точками делителями. Подобным образом, площадь серого четырехугольника будет равна сумме площадей фигур, образованных его сторонами и точками делителями.

Теперь, учитывая, что отношение длины каждого сегмента точек делителей к длине соответствующей стороны исходного четырехугольника равно \(1/3\), мы также можем утверждать, что отношение площади каждой фигуры, образованной стороной и точками делителями, к площади соответствующей стороны исходного четырехугольника также равно \(1/3\).

Итак, если мы обозначим площадь исходного четырехугольника как \(S_{\text{исх}}\) и площадь серого четырехугольника как \(S_{\text{сер}}\), то отношение площадей будет:

\[\frac{{S_{\text{исх}}}}{{S_{\text{сер}}}} = \frac{{\text{сумма площадей фигур, образованных сторонами и точками делителями исходного четырехугольника}}}{{\text{сумма площадей фигур, образованных сторонами и точками делителями серого четырехугольника}}} = \text{три раза отношения площади каждой фигуры к соответствующей стороне}\]

Так как отношение площади каждой фигуры к соответствующей стороне равно \(1/3\), то отношение площадей будет:

\[\frac{{S_{\text{исх}}}}{{S_{\text{сер}}}} = \frac{3}{1} = 3\]

Итак, отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника равно 3.