Каково отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника? Выделены точки на сторонах

Pchela

63

Для начала, давайте разберемся с терминологией чтобы было понятно, о каких фигурах и точках идет речь. У нас есть исходный четырехугольник (предположим, это прямоугольник) и точки на его сторонах, которые делят их на три равные части. Давайте обозначим точки на сторонах четырехугольника как $A$, $B$, $C$ и $D$.

Теперь, чтобы найти отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника, нам нужно определить, что такое серый четырехугольник. Предположим, что серым четырехугольником мы обозначаем фигуру, образованную соединением точек делителей сторон четырехугольника. Давайте обозначим точки пересечения делителей сторон как $E$, $F$, $G$ и $H$.

Теперь, для решения задачи, мы можем использовать свойства исходного и серого четырехугольников. Мы знаем, что фигуры, образованные точками делителей, делят каждую сторону на три равные части. Это означает, что отношение длины каждого сегмента точек делителей к длине соответствующей стороны исходного четырехугольника равняется $1/3$.

Теперь давайте рассмотрим площади исходного и серого четырехугольников. Мы знаем, что площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной ее сторонами. Таким образом, площадь исходного четырехугольника равна сумме площадей прямоугольников, образованных его сторонами и точками делителями. Подобным образом, площадь серого четырехугольника будет равна сумме площадей фигур, образованных его сторонами и точками делителями.

Теперь, учитывая, что отношение длины каждого сегмента точек делителей к длине соответствующей стороны исходного четырехугольника равно $1/3$, мы также можем утверждать, что отношение площади каждой фигуры, образованной стороной и точками делителями, к площади соответствующей стороны исходного четырехугольника также равно $1/3$.

Итак, если мы обозначим площадь исходного четырехугольника как $S_{\text{исх}}$ и площадь серого четырехугольника как $S_{\text{сер}}$, то отношение площадей будет:

$$\frac{S_{\text{исх}}}{S_{\text{сер}}}=\frac{\text{сумма площадей фигур, образованных сторонами и точками делителями исходного четырехугольника}}{\text{сумма площадей фигур, образованных сторонами и точками делителями серого четырехугольника}}=\text{три раза отношения площади каждой фигуры к соответствующей стороне}$$

Так как отношение площади каждой фигуры к соответствующей стороне равно $1/3$, то отношение площадей будет:

$$\frac{S_{\text{исх}}}{S_{\text{сер}}}=\frac{3}{1}=3$$

Итак, отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника равно 3.