Каково отношение скоростей двух космических кораблей, путешествующих по круговым орбитам на расстояниях от поверхности

Volshebnyy_Leprekon

51

Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые физические принципы и формулы.

Предположим, что скорость первого космического корабля, путешествующего по орбите в два раза больше земного радиуса, обозначена как \(v_1\), а скорость второго космического корабля, путешествующего по орбите в три раза больше земного радиуса, обозначена как \(v_2\).

Важно заметить, что орбиты космических кораблей являются круговыми, а значит, на них действует сила тяготения и центростремительная сила, направленная к центру окружности орбиты.

Также, согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила тяготения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Используя вышеуказанную информацию, можем записать следующие уравнения для каждого из кораблей:

Для первого корабля:
\[
F_1 = \frac{{G \cdot M \cdot m_1}}{{r_1^2}}
\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(m_1\) - масса корабля, а \(r_1\) - расстояние от центра Земли до орбиты первого корабля.

Центростремительная сила, действующая на первый корабль:
\[
F_{c1} = m_1 \cdot a_1 = m_1 \cdot \frac{{v_1^2}}{{r_1}}
\]

Для второго корабля:
\[
F_2 = \frac{{G \cdot M \cdot m_2}}{{r_2^2}}
\]
где \(m_2\) - масса второго корабля, а \(r_2\) - расстояние от центра Земли до орбиты второго корабля.

Центростремительная сила, действующая на второй корабль:
\[
F_{c2} = m_2 \cdot a_2 = m_2 \cdot \frac{{v_2^2}}{{r_2}}
\]

Теперь нам нужно выразить значения центростремительной силы через силу тяготения для обоих кораблей и сравнить их.

Поскольку центростремительная сила является силой, направленной к центру окружности орбиты, она должна быть равна силе тяготения, действующей на корабль. Таким образом, можем записать следующие уравнения:

\[
F_{c1} = F_1
\]
\[
F_{c2} = F_2
\]

Подставляя уравнения для силы тяготения и центростремительной силы, получаем:

\[
m_1 \cdot \frac{{v_1^2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M \cdot m_1}}{{r_1^2}}
\]
\[
m_2 \cdot \frac{{v_2^2}}{{r_2}} = \frac{{G \cdot M \cdot m_2}}{{r_2^2}}
\]

Заметим, что масса космического корабля, \(m_1\) или \(m_2\), сокращается на обеих сторонах уравнения.

Для дальнейшего анализа, мы можем выразить \(\frac{{v_1^2}}{{r_1}}\) и \(\frac{{v_2^2}}{{r_2}}\) через \(\frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\), где \(r\) - радиус орбиты Земли. Поскольку расстояния от поверхности Земли до орбит космических кораблей равны двум и трем земным радиусам соответственно, тогда \(r_1 = 3 \cdot r\), а \(r_2 = 4 \cdot r\) (так как три земных радиуса больше, чем два земных радиуса).

Таким образом, получаем следующие уравнения:

\[
\frac{{v_1^2}}{{3 \cdot r}} = \frac{{G \cdot M}}{{(3 \cdot r)^2}}
\]
\[
\frac{{v_2^2}}{{4 \cdot r}} = \frac{{G \cdot M}}{{(4 \cdot r)^2}}
\]

Чтобы найти отношение скоростей \(v_1\) и \(v_2\), нам нужно разделить уравнение для \(v_2\) на уравнение для \(v_1\):

\[
\frac{{v_2^2}}{{4 \cdot r}} \cdot \frac{{3 \cdot r}}{{v_1^2}} = \frac{{G \cdot M}}{{(4 \cdot r)^2}} \cdot \frac{{(3 \cdot r)^2}}{{G \cdot M}}
\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[
\frac{{v_2^2}}{{v_1^2}} = \frac{{9 \cdot r^2}}{{16 \cdot r^2}}
\]

Затем извлекаем корень из обеих сторон уравнения:

\[
\frac{{v_2}}{{v_1}} = \frac{{3 \cdot r}}{{4 \cdot r}} = \frac{{3}}{{4}}
\]

Таким образом, получаем, что отношение скоростей космических кораблей равно \(\frac{{3}}{{4}}\).

Итак, ответ на ваш вопрос: отношение скоростей двух космических кораблей, путешествующих по круговым орбитам на расстояниях от поверхности Земли в два и три раза больше земного радиуса, равно \(\frac{{3}}{{4}}\).