Каково полное ускорение точек на окружности диска в момент времени 10 секунд, если диск радиусом 0,2 м вращается

Сказочный_Факир

37

Для начала, рассчитаем значению угла поворота \(\phi\) в момент времени \(t = 10\) секунд.
Используем заданное уравнение \(\phi = A + Bt + Dt^3\). Подставим значения: \(A = 0\) (так как не указано), \(B = -1 \, \text{с}^{-1}\) и \(D = 0,1 \, \text{с}^{-3}\). Подставив эти значения, получим:

\[\phi = 0 + (-1) \cdot 10 + 0,1 \cdot 10^3 = -10 + 100 = 90 \, \text{градусов}\]

Теперь посмотрим на векторы скорости и ускорения в указанный момент времени \(t = 10\) секунд.

Вектор скорости \(v\) можно определить как производную угла поворота по времени: \(v = \frac{d\phi}{dt}\).
Дифференцируем уравнение для \(\phi\): \(\frac{d\phi}{dt} = B + 3Dt^2\).
Подставим значения: \(B = -1 \, \text{с}^{-1}\) и \(D = 0,1 \, \text{с}^{-3}\), и получим:

\[v = -1 + 3 \cdot 0,1 \cdot 10^2 = -1 + 3 = 2 \, \text{рад/с}\]

Теперь посмотрим на вектор ускорения \(a\), который можно определить как производную скорости по времени: \(a = \frac{dv}{dt}\).
Дифференцируем уравнение для \(v\): \(\frac{dv}{dt} = 6Dt\).
Подставим значение \(D = 0,1 \, \text{с}^{-3}\) и \(t = 10\) секунд, и получим:

\[a = 6 \cdot 0,1 \cdot 10 = 0,6 \, \text{рад/с}^2\]

Используя значение радиуса диска \(r = 0,2 \, \text{м}\), можно рассчитать линейную скорость \(v_{\text{лин}}\) и линейное ускорение \(a_{\text{лин}}\) на окружности диска:

Линейная скорость \(v_{\text{лин}}\) вычисляется как произведение радиуса и скорости: \(v_{\text{лин}} = r \cdot v\).
Подставим значение \(r = 0,2 \, \text{м}\) и \(v = 2 \, \text{рад/с}\), и получим:

\[v_{\text{лин}} = 0,2 \cdot 2 = 0,4 \, \text{м/с}\]

Линейное ускорение \(a_{\text{лин}}\) вычисляется как произведение радиуса и ускорения: \(a_{\text{лин}} = r \cdot a\).
Подставим значение \(r = 0,2 \, \text{м}\) и \(a = 0,6 \, \text{рад/с}^2\), и получим:

\[a_{\text{лин}} = 0,2 \cdot 0,6 = 0,12 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, в момент времени \(t = 10\) секунд, полное ускорение точки на окружности диска составляет \(0,6\) рад/с\(^2\), векторы скорости указывают в направлении с положительными значениями, и составляют \(2\) рад/с, а линейные скорость и ускорение на окружности диска равны \(0,4\) м/с и \(0,12\) м/с\(^2\) соответственно.

Чтобы визуализировать векторы скорости и ускорения, нарисуем диаграмму:

\[

\vector{a_{\text{лин}}} \rightarrow
\vector{a} \rightarrow

\vector{r}

\vector{v}

\]

где \(\vector{a_{\text{лин}}}\) - линейное ускорение, \(\vector{a}\) - угловое ускорение, \(\vector{r}\) - радиус вектор, \(\vector{v}\) - скорость.