Каково распределение выручки в рублях (z), вычисленное по курсу доллара (у), если выручка (х) не зависит от курса

Андреевич_3840

42

Чтобы вычислить ожидание (среднее значение) выручки в рублях (z) непосредственно, нужно умножить каждую выручку на соответствующую вероятность и сложить результаты. В данной задаче у нас есть две возможные выручки (x) - 1000 и 2000 рублей, с вероятностями (p) 0,7 и 0,3 соответственно. Нам также даны две возможные стоимости доллара (у) - 25 и 27 рублей, с вероятностями (p) 0,4 и 0,6 соответственно.

Мы можем рассчитать ожидание (среднее значение) выручки в рублях (z) непосредственно следующим образом:
\[z = x_1 \cdot p_1 \cdot y_1 + x_1 \cdot p_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot p_2 \cdot y_1 + x_2 \cdot p_2 \cdot y_2\]
где:
- \(x_1\) и \(x_2\) - возможные значения выручки (1000 и 2000 рублей);
- \(p_1\) и \(p_2\) - соответствующие вероятности (0,7 и 0,3);
- \(y_1\) и \(y_2\) - возможные значения курса доллара (25 и 27 рублей).

Расчет будет следующим:
\[z = (1000 \cdot 0,7 \cdot 25) + (1000 \cdot 0,7 \cdot 27) + (2000 \cdot 0,3 \cdot 25) + (2000 \cdot 0,3 \cdot 27)\]
\[z = 17500 + 18900 + 15000 + 16200\]
\[z = 67600\]
Таким образом, ожидаемое значение выручки (z) составляет 67600 рублей.

Теперь рассмотрим второй способ вычисления ожидания (среднего значения) выручки в рублях (z) с использованием свойств ожидания. Мы можем использовать свойство линейности ожидания, которое гласит, что ожидание линейной комбинации случайных величин будет равно линейной комбинации их ожиданий.

То есть, мы можем выразить ожидание выручки (z) как:
\[z = p_1 \cdot y_1 \cdot E(x_1) + p_1 \cdot y_2 \cdot E(x_1) + p_2 \cdot y_1 \cdot E(x_2) + p_2 \cdot y_2 \cdot E(x_2)\]

Сначала посчитаем ожидания \(E(x_1)\) и \(E(x_2)\):
\[E(x_1) = \sum_{i=1}^{n} x_{1i} \cdot p_{1i} = (1000 \cdot 0,7) + (2000 \cdot 0,3) = 700 + 600 = 1300\]
\[E(x_2) = \sum_{i=1}^{n} x_{2i} \cdot p_{2i} = (1000 \cdot 0,3) + (2000 \cdot 0,7) = 300 + 1400 = 1700\]

Теперь мы можем вычислить ожидание (среднее значение) выручки в рублях (z) используя ожидания \(E(x_1)\) и \(E(x_2)\):
\[z = (0,7 \cdot 25 \cdot 1300) + (0,7 \cdot 27 \cdot 1300) + (0,3 \cdot 25 \cdot 1700) + (0,3 \cdot 27 \cdot 1700)\]
\[z = (22750) + (24570) + (12750) + (13770)\]
\[z = 73840\]
Таким образом, ожидаемое значение выручки (z) составляет 73840 рублей.

Оба способа дали нам одинаковый результат.