Каково расстояние между предметом и линзой, и каково фокусное расстояние этой линзы, если на экране, находящемся

Цикада

58

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу тонкой линзы, которая гласит: \(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\), где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы и \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

Также нам дано, что изображение получено в два раза больше предмета. Это говорит о том, что коэффициент увеличения (\(m\)) равен 2. Мы можем использовать формулу для коэффициента увеличения: \(m = -\frac{d_i}{d_o}\), где \(m\) - коэффициент увеличения, \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы и \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы.

Теперь давайте решим задачу.

Воспользуемся формулой для коэффициента увеличения: \(2 = -\frac{d_i}{d_o}\).

Так как изображение получено в два раза больше предмета, то коэффициент увеличения \(m\) равен 2. Подставим это значение в уравнение: \(2 = -\frac{d_i}{d_o}\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(f\) и \(d_o\)). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти искомые значения.

Для начала, решим первое уравнение для коэффициента увеличения \(m\):

\(2 = -\frac{d_i}{d_o}\)

Умножим обе стороны на \(d_o\):

\(2d_o = -d_i\)

Теперь решим второе уравнение, используя формулу тонкой линзы:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\)

Заменим \(-d_i\) на \(2d_o\):

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{2d_o}\)

Общий знаменатель:

\(\frac{1}{f} = \frac{2}{2d_o} + \frac{1}{2d_o}\)

Складываем дроби:

\(\frac{1}{f} = \frac{3}{2d_o}\)

Инвертируем обе стороны:

\(f = \frac{2d_o}{3}\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(2d_o = -d_i\)

\(f = \frac{2d_o}{3}\)

Мы можем решить первое уравнение относительно \(d_o\):

\(2d_o = -d_i\)

Умножаем обе стороны на \(-1\):

\(-2d_o = d_i\)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\(f = \frac{2d_o}{3}\)

\(f = \frac{2(-2d_o)}{3}\)

\(f = -\frac{4d_o}{3}\)

Таким образом, мы получили выражение для фокусного расстояния \(f\) через расстояние от предмета до линзы \(d_o\).

Однако, необходимо помнить, что расстояние от предмета до линзы должно быть положительным, потому что предмет находится по одну сторону от линзы.

Теперь, чтобы найти численные значения для расстояний, заменим \(d_i\) на \(-2d_o\) в первом уравнении и решим его:

\(2d_o = -(-2d_o)\)

\(2d_o = 2d_o\)

Таким образом, мы видим, что расстояние от предмета до линзы равно расстоянию от изображения до линзы.

Исходя из этого, мы можем решить второе уравнение для фокусного расстояния \(f\), подставив \(d_o\) вместо \(d_i\):

\(f = \frac{2d_o}{3}\)

\(f = \frac{2(2d_o)}{3}\)

\(f = \frac{4d_o}{3}\)

Таким образом, мы получаем, что фокусное расстояние линзы \(f\) равно \(\frac{4}{3}\) раза расстоянию от предмета до линзы.

Теперь округлим это значение до целого числа:

\(f \approx 1\)

Таким образом, фокусное расстояние данной линзы округляется до 1.

Так же, как расстояние от предмета до линзы округляем до 2.

Итак, расстояние между предметом и линзой составляет 2 см, а фокусное расстояние этой линзы составляет 1 см.