Каково расстояние между пунктами В и С на местности, учитывая, что на карте с масштабом 1:2 000 000 расстояние между
Каково расстояние между пунктами В и С на местности, учитывая, что на карте с масштабом 1:2 000 000 расстояние между пунктами А и В составляет 5√3 см, а расстояние между пунктами А и С равно 5 см, а также известно, что на карте угол АСВ равен 120°?
Vetka_728 55
Для решения данной задачи нам понадобятся знания тригонометрии и пропорций. Давайте разберемся пошагово.1. Начнем с того, что у нас имеется карта с масштабом 1:2 000 000. Это означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 2 000 000 сантиметров в реальности.
2. По условию задачи, расстояние между пунктами А и В на карте составляет 5√3 см. Учитывая масштаб карты, расстояние в реальности между пунктами А и В можно вычислить как произведение 5√3 и масштаба 1:2 000 000. Обозначим это расстояние как d₁.
\[d₁ = 5√3 \cdot 2 000 000 = 10 000 000√3 \text{ см}\]
3. Затем, нам известно, что расстояние между пунктами А и С на карте равно 5 см. Аналогично, вычислим это расстояние в реальности как произведение 5 и масштаба.
\[d₂ = 5 \cdot 2 000 000 = 10 000 000 \text{ см}\]
4. Имея значения d₁ и d₂, мы можем использовать тригонометрию для решения задачи. Нам известно, что угол АСВ равен 120°, и мы хотим найти расстояние между пунктами В и С.
5. Рассмотрим треугольник АСВ. Можно заметить, что мы знаем стороны d₁ и d₂, а также угол АСВ.
6. Воспользуемся Законом косинусов для вычисления третьей стороны треугольника. Закон косинусов утверждает, что квадрат третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус их общего угла.
\[d₃² = d₁² + d₂² - 2 \cdot d₁ \cdot d₂ \cdot \cos(120°)\]
7. Вычислим косинус 120°. Для этого воспользуемся формулой косинуса тройного угла, когда косинус тройного угла равен -0,5.
\[d₃² = d₁² + d₂² - 2 \cdot d₁ \cdot d₂ \cdot (-0,5)\]
8. Выполним необходимые вычисления:
\[d₃² = (10 000 000√3)² + (10 000 000)² - 2 \cdot (10 000 000√3) \cdot (10 000 000) \cdot (-0,5)\]
\[d₃² = 300 000 000 + 100 000 000 - 100 000 000√3\]
\[d₃² = 400 000 000 - 100 000 000√3\]
9. Вычислим значение d₃, извлекая квадратный корень из полученного выражения:
\[d₃ = \sqrt{400 000 000 - 100 000 000√3} \approx 17 320 \text{ см}\]
Таким образом, расстояние между пунктами В и С на местности составляет примерно 17 320 сантиметров.