Каково расстояние от центра окружности до хорды, если диаметр пересекает ее под углом 45 градусов, и хорда делится

Tigr

52

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые геометрические знания и некоторые теоремы окружностей. Давайте пошагово разберемся:

1. Представьте окружность с центром O и диаметром AC. Рассмотрим хорду BD, которая пересекает диаметр AC под углом 45 градусов. Пусть точка E - середина хорды BD.

2. Мы знаем, что диаметр окружности всегда проходит через ее центр. Поэтому точка O - центр окружности, также является серединой диаметра AC.

3. Так как D - середина хорды BD, то BD делится пополам точкой D. То есть, отрезок DB равен отрезку DA.

4. Теперь давайте рассмотрим треугольник ADE. Так как точка E - середина хорды BD, а точка O - середина диаметра AC, то отрезок OE будет проходить через центр окружности O и перпендикулярен к хорде BD.

5. Теорема: Если из центра окружности провести перпендикуляр к хорде, то он будет делить хорду пополам. Поэтому, отрезок DE будет равен отрезку AE.

6. Мы знаем, что отрезок DB равен отрезку DA. Также отрезок DE равен отрезку AE. Поэтому, мы можем записать следующее равенство: DB + DE = DA + AE.

7. Заметим, что отрезок DB + DE является длиной хорды BD, то есть BD = 2. А отрезок DA + AE является длиной диаметра AC, а так как диаметр равен удвоенному радиусу окружности, то DA + AE = 2R.

8. Заметим, что в нашем треугольнике ADE, отрезок DE является высотой, опущенной на основание DA. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике DEO с гипотенузой OE и катетами DE и EO, выполняется следующее равенство: DE^2 + EO^2 = DO^2.

9. Отрезок DE равен отрезку AE, а отрезок EO равен радиусу окружности R. Также отрезок DO равен половине диаметра AC, то есть DO = OC/2 = R. Поэтому, мы можем записать следующее равенство: AE^2 + R^2 = R^2.

10. Вычитая R^2 из обеих частей равенства, мы получаем следующее: AE^2 = 0.

11. Отсюда следует, что отрезок AE равен нулю, то есть точка E совпадает с точкой A.

12. Таким образом, мы получаем, что отрезок DB равен двум, а отрезок AE равен нулю. Расстояние от центра окружности до хорды BD равно половине длины хорды BD, поэтому расстояние равно 1.

Ответ: Расстояние от центра окружности до хорды BD равно 1.