Каково расстояние от центра окружности I до медианы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника

Лаки_1942

29

Чтобы найти расстояние от центра окружности I до медианы треугольника, нам понадобится применить некоторые геометрические свойства и формулы.

Для начала, давайте разберемся с некоторыми определениями:
- Центр окружности I - это точка, которая находится внутри окружности и равноудалена от всех точек окружности.
- Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположного ему ребра.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (это стандартные значения сторон прямоугольного треугольника). Медиана, проведенная к гипотенузе, будет равна половине гипотенузы.

Для начала, найдем длину гипотенузы треугольника по теореме Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Подставляя значения, получаем:
\[c^2 = 3^2 + 4^2\]
\[c^2 = 9 + 16\]
\[c^2 = 25\]

Следовательно, длина гипотенузы \(c\) равна 5.

Следующий шаг - найти середину гипотенузы, так как медиана проведена к гипотенузе. Для этого, мы можем воспользоваться формулой для нахождения середины отрезка, которая гласит:
\[x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Где \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\) - координаты концов отрезка гипотенузы.

Так как гипотенуза - это отрезок, соединяющий точки (0,0) и (3,4), мы можем применить эту формулу:

\[x = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\]
\[y = \frac{{0 + 4}}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Таким образом, середина гипотенузы имеет координаты \(\left(\frac{3}{2}, 2\right)\).

Теперь нам нужно найти расстояние от центра окружности I до середины гипотенузы. Для этого применим формулу для расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где \((x_1,y_1)\) - координаты центра окружности I, а \((x_2,y_2)\) - координаты середины гипотенузы.

Подставляя значения, получаем:
\[d = \sqrt{{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + (2 - 0)^2}}\]
\[d = \sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{9}{4} + 4}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{25}{4}}}\]
\[d = \frac{5}{2}\]

Итак, расстояние от центра окружности I до медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5, равно \(\frac{5}{2}\) или 2.5.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ на вашу задачу.