Каково расстояние от центра сферы до плоскости сечения шара, имеющего радиус 10 дм и сечение площадью 64π дм²?

Daniil

49

Для решения данной задачи мы можем использовать геометрические свойства сферы и плоскости, а также формулу для расстояния от точки до плоскости.

Итак, пусть у нас есть сфера с радиусом \(R = 10\) дм и сечением, которое представляет собой круг с площадью \(A = 64\pi\) дм². Нам необходимо найти расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Первым шагом давайте найдем радиус сечения плоскости. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[A = \pi r^2,\]

где \(r\) - радиус сечения. Подставляя известные значения, получим:

\[64\pi = \pi r^2.\]

Делим обе части уравнения на \(\pi\), получаем:

\[64 = r^2.\]

Теперь найдем значение радиуса сечения плоскости:

\[r = \sqrt{64} = 8.\]

Мы нашли, что радиус сечения плоскости шара равен 8 дм.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный радиусом сферы, линией, соединяющей центр сферы с центром сечения, и отрезком от центра сферы до точки пересечения с плоскостью (назовем его \(h\)). Треугольник является прямым, поскольку радиус и линия, соединяющая центры, перпендикулярны в силу свойств геометрической фигуры.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[R^2 = h^2 + r^2.\]

Подставим известные значения:

\[10^2 = h^2 + 8^2.\]

Выполняем необходимые вычисления:

\[100 = h^2 + 64.\]

Теперь вычтем 64 из обеих частей уравнения:

\[h^2 = 100 - 64 = 36.\]

Извлекаем корень из обоих частей:

\[h = \sqrt{36} = 6.\]

Мы нашли, что расстояние от центра сферы до плоскости сечения шара равно 6 дм.

Таким образом, итоговый ответ: расстояние от центра сферы до плоскости сечения шара равно 6 дм.