Каково расстояние от точки D до гипотенузы треугольника ABC, если из вершины прямого угла C восставлен перпендикуляр

Путник_Судьбы

33

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AC равна 3 м, а катет BC равен 4 м. Мы хотим найти расстояние от точки D до гипотенузы.

Давайте обозначим длину отрезка CD как х метров. Так как отрезок CD перпендикулярен к гипотенузе AC, то CD является высотой треугольника ABC.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:

\[BC^2 + CD^2 = BD^2\]

Подставим значения BC и CD:

\[4^2 + x^2 = BD^2\]

\[16 + x^2 = BD^2\]

Теперь нам нужно найти длину отрезка BD. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

Так как ABC - прямоугольный треугольник и гипотенуза AC = 3 м, то AB равна 3 м.

\[3^2 = AD^2 + BD^2\]

\[9 = AD^2 + BD^2\]

Мы знаем, что AD = AC - CD = 3 - x. Подставим это значение:

\[9 = (3-x)^2 + BD^2\]

Раскроем квадрат:

\[9 = 9 - 6x + x^2 + BD^2\]

Упростим уравнение:

\[0 = -6x + x^2 + BD^2\]

Теперь обратимся к треугольнику BCD. Мы знаем, что сумма длин двух катетов равна гипотенузе. То есть, BD + CD = BC.

Подставим значения:

\[BD + x = 4\]

\[BD = 4 - x\]

Теперь мы можем заменить BD в уравнении:

\[0 = -6x + x^2 + (4 - x)^2\]

Раскроем квадрат во втором члене:

\[0 = -6x + x^2 + (16 - 8x + x^2)\]

Сгруппируем подобные члены:

\[0 = 2x^2 - 14x + 16\]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-14)^2 - 4(2)(16)\]

\[D = 196 - 128\]

\[D = 68\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + \sqrt{68}}{2(2)}\]

\[x_1 = \frac{14 + 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - \sqrt{68}}{2(2)}\]

\[x_2 = \frac{14 - 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}\]

Таким образом, расстояние от точки D до гипотенузы треугольника ABC равно \(\frac{7 + \sqrt{17}}{2}\) метра или \(\frac{7 - \sqrt{17}}{2}\) метра, в зависимости от того, какой корень выбрать в контексте задачи.