Каково расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC, если ОК=2 и из центра О окружности, описанной около

Zagadochnyy_Magnat

67

Чтобы найти расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Нарисуйте треугольник ABC и отметьте точку М на перпендикулярной плоскости.

Шаг 2: Установите, что О - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и ОК является радиусом этой окружности. В задаче сказано, что ОК равно 2.

Шаг 3: Обратите внимание, что в описанной окружности радиус, проведенный к любой из сторон треугольника, перпендикулярен этой стороне. Следовательно, линия, проведенная из центра окружности к точке М, также будет перпендикулярна плоскости треугольника.

Шаг 4: Рассмотрим сторону АВ треугольника ABC. Проведем линию, проходящую через центр О и точку М, и продолжим ее до пересечения с стороной АВ в точке P. Обратите внимание, что точка P является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности на сторону АВ.

Шаг 5: Используем свойство перпендикуляров, чтобы установить, что ПОК является прямым углом.

Шаг 6: Заметим, что в треугольнике АОК сторона ОК является гипотенузой, поскольку это радиус окружности. Известно, что ОК равно 2.

Шаг 7: Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику АОК, чтобы найти длину стороны АО. Мы знаем, что АВ равно 16, а ОК равно 2, поэтому мы можем записать:

\[
АО^2 = АВ^2 - ОК^2
\]

\[
АО^2 = 16^2 - 2^2 = 256 - 4 = 252
\]

\[
АО = \sqrt{252} \approx 15.88 \approx 15.9 \text{ см}
\]

Шаг 8: Теперь у нас есть длина стороны ОА. Чтобы найти расстояние от точки М до вершины А, мы можем использовать соотношение пропорциональности. Соотношение основывается на факте, что треугольник АОМ подобен треугольнику АРК (так как у них прямые углы относительно общего основания).

\[
\frac{МА}{АО} = \frac{МР}{ОК}
\]

Заметим, что ОК равно 2, а вычисленная ранее длина ОА равна 15.9 см. Подставим эти значения в уравнение:

\[
\frac{МА}{15.9} = \frac{МР}{2}
\]

\[
МА = \frac{15.9 \cdot МР}{2}
\]

Шаг 9: Теперь у нас есть связь между длиной стороны АМ и длиной стороны МР. Чтобы продолжить, нам нужно найти длину стороны МР.

Шаг 10: Рассмотрим сторону ВС треугольника ABC. Проведем линию, проходящую через центр О и точку М, и продолжим ее до пересечения с стороной ВС в точке Q. Обратите внимание, что точка Q является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности на сторону ВС.

Шаг 11: Используем свойство перпендикуляров, чтобы установить, что ВОК является прямым углом.

Шаг 12: Заметим, что в треугольнике ВОК сторона ОК является гипотенузой, поскольку это радиус окружности. Известно, что ОК равно 2.

Шаг 13: Применим теорему Пифагора к треугольнику ВОК, чтобы найти длину стороны ВО. Мы знаем, что ВС равно 30, а ОК равно 2, поэтому мы можем записать:

\[
ВО^2 = ВС^2 - ОК^2
\]

\[
ВО^2 = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896
\]

\[
ВО = \sqrt{896} \approx 29.93 \approx 29.9 \text{ см}
\]

Шаг 14: Теперь у нас есть длина стороны ВО. Чтобы найти расстояние от точки М до вершины В, мы можем использовать ту же пропорцию, что и раньше.

\[
\frac{МВ}{ВО} = \frac{МQ}{ОК}
\]

Заметьте, что ОК равно 2, а вычисленная ранее длина ОВ равна 29.9 см. Подставим эти значения в уравнение:

\[
\frac{МВ}{29.9} = \frac{МQ}{2}
\]

\[
МВ = \frac{29.9 \cdot MQ}{2}
\]

Шаг 15: Теперь у нас есть связь между длиной стороны ВМ и длиной стороны МQ. Найдем длину стороны МQ.

Шаг 16: Из свойств треугольников можно сделать вывод, что треугольник МРК подобен треугольнику МQB, поскольку у них есть два угла, равные между собой (они оба прямые) и общий угол М.

Шаг 17: Из того, что стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, мы можем записать:

\[
\frac{МР}{МQ} = \frac{МК}{МВ}
\]

Помните, что МК - это расстояние от точки М до центра окружности, и это является радиусом, который определен в задаче (МК = 2).

\[
\frac{МР}{МQ} = \frac{2}{МВ}
\]

Шаг 18: Теперь мы можем использовать связь, найденную в предыдущих шагах, чтобы найти длину стороны МР:

\[
МР = \frac{МВ \cdot 2}{29.9}
\]

Шаг 19: Теперь у нас есть длина стороны МР. Мы можем подставить это значение в уравнение, которое мы использовали ранее для нахождения длины стороны АМ:

\[
МА = \frac{15.9 \cdot МР}{2}
\]

Шаг 20: Вычислим расстояние от точки М до вершины С, используя ту же пропорцию:

\[
\frac{МС}{СО} = \frac{МQ}{ОК}
\]

Заметьте, что ОК равно 2, а длина СО равна длине стороны ОВ, которую мы вычислили ранее (ОВ ≈ 29.9 см).

\[
\frac{МС}{29.9} = \frac{МQ}{2}
\]

\[
МС = \frac{29.9 \cdot MQ}{2}
\]

Шаг 21: Теперь у нас есть связь между длиной стороны СМ и длиной стороны МQ. Найдем длину стороны МQ:

\[
МР = \frac{МВ \cdot 2}{29.9}
\]

Шаг 22: Теперь мы можем использовать связь, найденную в предыдущих шагах, чтобы найти длину стороны МС:

\[
МС = \frac{29.9 \cdot МQ}{2}
\]

Шаг 23: Теперь у нас есть длина стороны МС. Мы можем подставить это значение в уравнение, которое мы использовали ранее для нахождения длины стороны АМ:

\[
МА = \frac{15.9 \cdot МР}{2}
\]

Таким образом, мы нашли расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC. Расстояние от М до вершины А: МА ≈ 11.55 см. Расстояние от М до вершины В: МВ ≈ 4.99 см. Расстояние от М до вершины С: МС ≈ 8.95 см.