Каково расстояние от точки м до плоскости abc, если известно, что расстояние от точки до каждой из вершин правильного

Solnechnyy_Sharm

36

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать понятие векторов и их скалярного произведения.

Шаг 1.
Найдем вектор ab. Для этого найдем разность координат точек a и b:
\[\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\]

Шаг 2.
Найдем вектор ab в нормальной форме, разделив его на длину:
\[\mathbf{v_{ab}} = \frac{\overrightarrow{ab}}{|\overrightarrow{ab}|}\]

Шаг 3.
Найдем вектор ac. Для этого найдем разность координат точек a и c:
\[\overrightarrow{ac} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\]

Шаг 4.
Найдем скалярное произведение вектора ac и вектора ab в нормальной форме:
\[d = \mathbf{v_{ab}} \cdot \overrightarrow{ac}\]

Шаг 5.
Найдем точку d на плоскости abc, проекцию точки m на плоскость abc:
\[\mathbf{d} = \overrightarrow{a} + d \cdot \mathbf{v_{ab}}\]

Шаг 6.
Найдем расстояние от точки m до плоскости abc. Для этого найдем разность координат точек m и d:
\[\overrightarrow{md} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{m}\]

Шаг 7.
Найдем длину вектора \(\overrightarrow{md}\) (расстояние от точки m до плоскости abc):
\[|\overrightarrow{md}| = \sqrt{\overrightarrow{md} \cdot \overrightarrow{md}}\]

Теперь воспользуемся этими шагами для решения задачи:

1. Найдем вектор ab:
\[\overrightarrow{ab} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \\ b_z - a_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 6 \\ 0 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2. Найдем вектор ab в нормальной форме:
\[\begin{aligned} |\overrightarrow{ab}| &= \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 0^2} = 6 \\
\mathbf{v_{ab}} &= \frac{\overrightarrow{ab}}{|\overrightarrow{ab}|} = \frac{\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}{6} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

3. Найдем вектор ac:
\[\overrightarrow{ac} = \begin{pmatrix} c_x - a_x \\ c_y - a_y \\ c_z - a_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 6 \\ 4 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

4. Найдем скалярное произведение между \(\mathbf{v_{ab}}\) и \(\overrightarrow{ac}\):
\[d = \mathbf{v_{ab}} \cdot \overrightarrow{ac} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = (-1)(-6) + (0)(4) + (0)(0) = 6\]

5. Найдем точку d на плоскости abc:
\[\begin{aligned} \mathbf{d} &= \overrightarrow{a} + d \cdot \mathbf{v_{ab}} \\
&= \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} + 6 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

6. Найдем вектор \(\overrightarrow{md}\):
\[\overrightarrow{md} = \begin{pmatrix} d_x - m_x \\ d_y - m_y \\ d_z - m_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - m_x \\ 0 - m_y \\ 0 - m_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m_x \\ -m_y \\ -m_z \end{pmatrix}\]

7. Найдем расстояние от точки m до плоскости abc:
\[|\overrightarrow{md}| = \sqrt{(-m_x)^2 + (-m_y)^2 + (-m_z)^2} = \sqrt{m_x^2 + m_y^2 + m_z^2}\]

Таким образом, расстояние от точки \(\mathbf{m}\) до плоскости \(abc\) равно \(\sqrt{m_x^2 + m_y^2 + m_z^2}.\) В данной задаче, нам неизвестны координаты точки \(m,\) поэтому финальный ответ будет зависеть от местоположения этой точки.