Каково расстояние от точки M до прямой в треугольной пирамиде SABC?

Zagadochnaya_Luna

39

Чтобы найти расстояние от точки M до прямой в треугольной пирамиде SABC с максимальной ясностью, нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение начальных данных
Нам нужно знать координаты точки М и вершины треугольника SABC. Давайте предположим, что координаты точки М равны \(M(x_M, y_M, z_M)\), а вершины треугольника имеют следующие координаты: \(S(x_S, y_S, z_S)\), \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\), \(C(x_C, y_C, z_C)\).

Шаг 2: Нахождение вектора нормали к плоскости прямой
Для определения расстояния от точки до прямой необходимо найти вектор нормали к плоскости прямой. Для этого возьмем два неколлинеарных вектора, образуемых из вершин треугольника SABC: \(\overrightarrow{AS}\) и \(\overrightarrow{AB}\).

Вычислим эти векторы:
\(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} = (x_S - x_A, y_S - y_A, z_S - z_A)\),
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\).

Затем найдем их векторное произведение:
\(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AS} \times \overrightarrow{AB}\).

Шаг 3: Нахождение расстояния
Теперь, когда у нас есть вектор нормали \(\overrightarrow{N}\) к плоскости прямой, мы можем найти расстояние от точки М до прямой, используя следующую формулу:

\[
d = \frac{{|\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{AM}|}}{{||\overrightarrow{N}||}}
\]

где \(\overrightarrow{AM}\) - вектор, соединяющий точку М с любой точкой на прямой, а || || обозначает модуль вектора.

Шаг 4: Решение примера с конкретными значениями
Предположим, что у нас есть следующие координаты: \(M(1, 2, 3)\), \(S(3, 4, 5)\), \(A(1, 1, 0)\), \(B(2, 3, 1)\), \(C(0, 0, 0)\).

Теперь применим наши шаги:
Шаг 1: У нас есть значения координат.
Шаг 2: Вычисляем векторы:
\(\overrightarrow{AS} = (3 - 1, 4 - 1, 5 - 0) = (2, 3, 5)\),
\(\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 1, 1 - 0) = (1, 2, 1)\).
Вычисляем векторное произведение:
\(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AS} \times \overrightarrow{AB} = (3 - 10, 5 - 2, 4 - 3) = (-7, 3, 1)\).
Шаг 3: Вычисляем расстояние:
Расстояние \(d = \frac{{|-7 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2|}}{{\sqrt{(-7)^2 + 3^2 + 1^2}}}\).
Вычисляем числитель: \(-7 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = -7 + 3 + 2 = -2\).
Вычисляем знаменатель: \(\sqrt{(-7)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 9 + 1}\).
Получаем: \(d = \frac{2}{{\sqrt{59}}}\).

Таким образом, расстояние от точки М до прямой в данной треугольной пирамиде равно \(\frac{2}{{\sqrt{59}}}\).