Каково решение данного неравенства: 8 * ((3^(x-2)-1)/(3^x-2^x)) < 1 + (2/3)^x?

Fedor

46

Для начала, давайте приведем неравенство к более удобному виду. Данное неравенство содержит сложные выражения с показателями степеней, поэтому будет полезно применить логарифмы для упрощения уравнения.

1. Применим логарифм по основанию 10 к обеим сторонам неравенства:
\(\log_{10}(8 \cdot \frac{{3^{x-2}-1}}{{3^x-2^x}})) < \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).

2. Используем свойства логарифмов:
\(\log_{10}8 + \log_{10} \left(\frac{{3^{x-2}-1}}{{3^x-2^x}}\right) < \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).

3. Выразим дробь под логарифмом в виде разности логарифмов:
\(\log_{10}8 + \log_{10}(3^{x-2}-1) - \log_{10}(3^x-2^x) < \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).

4. Произведем дополнительные упрощения и преобразования:
\(\log_{10}8 + \log_{10}(3^{x-2}-1) - \log_{10}(3^x-2^x) < \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).
\(\log_{10}[8(3^{x-2}-1)] - \log_{10}(3^x-2^x) < \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).
\(\log_{10}\left[\frac{8(3^{x-2}-1)}{3^x-2^x}\right]< \log_{10}(1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x)\).

5. Пользуясь свойствами логарифмов, можем записать следующее эквивалентное неравенство:
\(\frac{8(3^{x-2}-1)}{3^x-2^x} < 1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x\).

Таким образом, решением данного неравенства будет множество всех значений \(x\), для которых выполняется условие:
\(\frac{8(3^{x-2}-1)}{3^x-2^x} < 1 + \left(\frac{2}{3}\right)^x\).