What is the result of (tangent of (7p/16) minus tangent of (3p/16)) divided by (1 plus the product of tangent

Vladimir

49

Хорошо, чтобы найти результат данного выражения:

\[\frac{{\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) - \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)}}{{1 + \tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) \cdot \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)}}\]

приступим к решению пошагово.

1. Начнем с вычисления значения тангенса данных углов \(\frac{{7\pi}}{{16}}\) и \(\frac{{3\pi}}{{16}}\).

Мы можем использовать значение тангенса половинного угла для нахождения точного значения тангенса этих углов.

Тангенс половинного угла \(\theta\) можно найти по формуле \(\tan\left(\frac{{\theta}}{{2}}\right) = \sqrt{\frac{{1 - \cos\theta}}{{1 + \cos\theta}}}\).

Вычислим значения тангенсов:

Для \(\frac{{7\pi}}{{16}}\)
\(\theta = \frac{{7\pi}}{{16}}\)
\(\frac{{\theta}}{{2}} = \frac{{7\pi}}{{32}}\)
\(\cos\left(\frac{{\theta}}{{2}}\right) = \cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)\)

Для \(\frac{{3\pi}}{{16}}\)
\(\theta = \frac{{3\pi}}{{16}}\)
\(\frac{{\theta}}{{2}} = \frac{{3\pi}}{{32}}\)
\(\cos\left(\frac{{\theta}}{{2}}\right) = \cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)\)

2. Теперь, когда мы знаем значения косинусов \(\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)\) и \(\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)\), мы можем вычислить значения синусов \(\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)\) и \(\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)\) с использованием тригонометрического тождества \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Вычислим значения синусов:

Для \(\frac{{7\pi}}{{32}}\)
\(\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right) = \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}\)

Для \(\frac{{3\pi}}{{32}}\)
\(\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right) = \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}\)

3. Теперь, когда у нас есть значения синусов и косинусов для \(\frac{{7\pi}}{{32}}\) и \(\frac{{3\pi}}{{32}}\), мы можем вычислить значения тангенсов \(\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right)\) и \(\tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)\) с помощью отношения \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Вычислим значения тангенсов:

Для \(\frac{{7\pi}}{{16}}\)
\(\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) = \frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\)

Для \(\frac{{3\pi}}{{16}}\)
\(\tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right) = \frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\)

4. Теперь, когда мы знаем значения тангенсов \(\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right)\) и \(\tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)\), мы можем вычислить результат.

\(\frac{{\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) - \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)}}{{1 + \tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) \cdot \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right)}}\)

Подставим значения и вычислим результат.

Разница тангенсов: \(\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) - \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right) = \left(\frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\right) - \left(\frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\right)\)

Произведение тангенсов: \(\tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) \cdot \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right) = \left(\frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\right) \cdot \left(\frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\right)\)

Сумма произведения и 1: \(1 + \tan\left(\frac{{7\pi}}{{16}}\right) \cdot \tan\left(\frac{{3\pi}}{{16}}\right) = 1 + \left(\frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\right) \cdot \left(\frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\right)\)

Окончательно, \(результат = \frac{{\left(\frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\right) - \left(\frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\right)}}{{1 + \left(\frac{{\sin\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{7\pi}}{{32}}\right)}}\right) \cdot \left(\frac{{\sin\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}{{\cos\left(\frac{{3\pi}}{{32}}\right)}}\right)}}\)

Если вы запишете значения тригонометрических функций более точно, то сможете упростить полученные выражения и вычислить значение результата данной задачи.