Каково скалярное произведение векторов АВ и АС, если на рисунке треугольник ABC является равнобедренным с основанием

Polina

12

Для начала, нам нужно определить векторы AB и AC. Затем мы найдем их скалярное произведение.

1. Вектор AB: Этот вектор проходит от точки A до точки B и обозначает разницу в координатах между этими двумя точками. Мы можем найти вектор AB, используя координаты точек A и B. Пусть координаты точки A будут (x1, y1), а координаты точки B - (x2, y2). Тогда вектор AB можно записать как:

\(\overrightarrow{AB} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)\)

2. Вектор AC: Аналогично, этот вектор проходит от точки A до точки C. Пусть координаты точки C будут (x3, y3). Тогда вектор AC можно записать как:

\(\overrightarrow{AC} = \left( x_3 - x_1, y_3 - y_1 \right)\)

Теперь, когда у нас есть векторы AB и AC, мы можем найти их скалярное произведение с использованием следующей формулы:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC = \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \cdot \cos(\theta)\)

где \(\left\| \overrightarrow{AB} \right\|\) и \(\left\| \overrightarrow{AC} \right\|\) обозначают длину векторов AB и AC соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

3. Длина вектора AB:
Для нахождения длины вектора AB мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\(\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}\)

4. Длина вектора AC:
Аналогично, для нахождения длины вектора AC мы используем формулу расстояния между двумя точками:

\(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{\left( x_3 - x_1 \right)^2 + \left( y_3 - y_1 \right)^2}\)

5. Угол между векторами AB и AC:
Мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным, поэтому длины отрезков AB и AC равны между собой. Так как BC = 4, то AB и AC также равны 4.
Кроме того, нам дано, что \(\angle A = 67,5^\circ\). Так как мы знаем, что в треугольнике сумма углов равна 180°, мы можем вычислить меру угла B или угла C:
\(\angle B = \frac{180^\circ - \angle A}{2}\)

6. Подставляем все значения в формулу скалярного произведения:
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов AB и AC, используя формулу:

\(AB \cdot AC = \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \cdot \cos(\theta)\)

Давайте выполним все эти вычисления: