Каково соотношение между периодами пружинного маятника на Марсе и на Земле при ускорении свободного падения равным

Радуга_На_Небе

10

Чтобы найти соотношение между периодами пружинного маятника на Марсе и на Земле, нам понадобится формула для периода колебаний:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Где:
- \(T\) - период колебаний (время, за которое маятник совершает одно полное колебание)
- \(\pi\) - математическая константа (примерно равна 3.14159)
- \(m\) - масса маятника
- \(k\) - жесткость пружины

Нам также понадобится знать формулу для жесткости пружины:

\[ k = \frac{m \cdot g}{x} \]

Где:
- \(k\) - жесткость пружины
- \(m\) - масса маятника
- \(g\) - ускорение свободного падения
- \(x\) - максимальное отклонение от положения равновесия

На Земле \(g\) равно приблизительно 9.8 м/с^2, а на Марсе \(g\) равно 3.7 м/с^2. Пусть масса маятника будет одинаковой на обеих планетах, тогда ее можно сократить в вычислениях.

Давайте предположим, что маятник имеет максимальное отклонение \(x\) и период \(T\). Затем мы можем записать соотношение для периодов на Земле и на Марсе:

\[ \frac{T_{\text{Марс}}}{T_{\text{Земля}}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{Марс}}}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{Земля}}}}}\]

Теперь мы можем заменить \(k_{\text{Марс}}\) и \(k_{\text{Земля}}\) в формуле выше с использованием известных значений ускорения свободного падения:

\[ \frac{T_{\text{Марс}}}{T_{\text{Земля}}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{m \cdot g_{\text{Марс}}}{x}}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{m \cdot g_{\text{Земля}}}{x}}}}\]

Здесь \(m\) и \(x\) находятся в числителе и знаменателе, поэтому они сокращаются:

\[ \frac{T_{\text{Марс}}}{T_{\text{Земля}}} = \sqrt{\frac{g_{\text{Земля}}}{g_{\text{Марс}}}}\]

Таким образом, соотношение между периодами пружинного маятника на Марсе и на Земле с учетом данного ускорения свободного падения равно:

\[ \frac{T_{\text{Марс}}}{T_{\text{Земля}}} = \sqrt{\frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{3.7 \, \text{м/с}^2}} \approx 1.473\]

Это означает, что период маятника на Марсе составляет около 1.473 раза больше, чем на Земле.