Каково соотношение между высотой АН и боковой стороной в равнобедренном треугольнике АВС, если угол при основании равен

Yarus

34

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и равными боковыми сторонами АВ и ВС.

Мы знаем, что угол при основании треугольника равен 75 градусов. Так как треугольник равнобедренный, то углы при боковых сторонах АВ и ВС равны между собой, и обозначим этот угол как х.

Используя свойство суммы углов треугольника, мы можем найти меру угла х:

Мера угла х + мера угла х + мера угла при основании = 180 градусов.

2х + 75 = 180

2х = 180 - 75

2х = 105

х = \(\dfrac{105}{2}\)

Таким образом, мера угла х равна \(\dfrac{105}{2}\) градусов, а значит, угол х равен 52.5 градусов.

Теперь используем свойства треугольника и тригонометрические отношения, чтобы найти соотношение между высотой АН и боковой стороной АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС, где Н — это точка пересечения высоты с основанием АС.

В этом треугольнике, у нас есть следующие отношения:

\(\sin х = \dfrac{AN}{AB}\)

где AB — это боковая сторона треугольника АВС, а AN — это высота, которую мы ищем.

Используя известные значения, мы можем записать:

\(\sin 52.5 = \dfrac{AN}{AB}\)

Мы знаем, что \(\sin 52.5 = 0.788\)

Подставляя это значение, получаем:

0.788 = \(\dfrac{AN}{AB}\)

Давайте теперь найдем соотношение между АН и АВ:

\(\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AH}{AC}\)

где AH — это высота треугольника АВС из вершины А, а АС — это основание треугольника АВС.

Мы знаем, что AH = AN (так как треугольник АНС - прямоугольный).

Таким образом, мы можем записать:

\(\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AN}{AB}\)

или

\(\dfrac{AH}{AB} = 0.788\)

Таким образом, соотношение между высотой АН и боковой стороной АВ в равнобедренном треугольнике АВС равно 0.788.