Каково соотношение радиуса орбиты спутника, находящегося над конкретной точкой Земли, к радиусу Земли? а. в 3 раза

Виктория

24

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно обратиться к закону всеобщего гравитационного притяжения и использовать формулу для центростремительного ускорения.

Закон всеобщего гравитационного притяжения гласит, что между двумя телами действует сила притяжения, пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, r - расстояние между ними.

Орбита спутника - это движение со скоростью, которая позволяет спутнику преодолевать центростремительное ускорение и не падать на Землю. Центростремительное ускорение, в свою очередь, связано с радиусом орбиты и скоростью спутника.

Центростремительное ускорение можно выразить следующим образом:

\[a = \frac{{v^2}}{r}\]

где a - центростремительное ускорение, v - скорость спутника, r - радиус орбиты.

Теперь давайте соберём все факты, которые даны в задаче:

радиус орбиты спутника: \(r_{\text{спутника}}\)
радиус Земли: \(r_{\text{Земли}}\)

Мы должны найти соотношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли. Для этого нам нужно поделить радиус орбиты на радиус Земли:

\[\frac{{r_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}}}\]

Теперь примените закон всеобщего гравитационного притяжения и найдите соотношение скоростей спутника и Земли. Так как спутник движется по орбите, он обладает центростремительным ускорением. Чтобы поддерживать постоянную радиус-вектор спутника, ему необходимо двигаться с такой скоростью, чтобы центростремительное ускорение уравновешивало гравитацию.

Выразим скорость спутника через радиус орбиты и центростремительное ускорение:

\[v = \sqrt{a \cdot r}\]

В данной задаче мы сравниваем соотношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли. Поэтому обратимся к формулам и найдём соотношение скоростей:

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}}\]

Сейчас мы узнаем отношение скоростей спутника и Земли, а затем сравним его с соотношением радиусов орбиты.

Зная, что гравитационная сила, действующая на спутник равна центростремительному ускорению, можем приравнять их:

\[G \cdot \frac{{m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}^2}} = \frac{{v_{\text{спутника}}^2}}{{r_{\text{спутника}}}}\]

Путём элементарных преобразований можно найти значение скорости спутника:

\[v_{\text{спутника}} = \sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}\]

Теперь выразим отношение скоростей спутника и Земли:

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}} = \frac{{\sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}}}{{v_{\text{Земли}}}}\]

Известно, что скорость Земли равна скорости спутника:

\[v_{\text{Земли}} = \sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}}}}\]

Подставим это значение:

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}} = \frac{{\sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}}}{{\sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}}}}}}\]

Теперь рассмотрим отношение радиусов орбиты:

\[\frac{{r_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}}}\]

Мы получили два выражения, одно для отношения скоростей, другое - для отношения радиусов. Давайте выразим отношение скоростей через отношение радиусов:

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}} = \frac{{\sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}}}{{\sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}}}}}}\]

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}}{{\frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}}}}}}\]

\[\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{{r_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}\]

Таким образом, мы видим, что отношение скоростей равно корню квадратному из отношения радиусов. Это означает, что отношение радиусов орбиты спутника к радиусу Земли равно квадрату отношения скоростей спутника и Земли.

Теперь найдём это отношение радиусов:

\[\frac{{r_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}}} = \left(\frac{{v_{\text{спутника}}}}{{v_{\text{Земли}}}}\right)^2\]

Теперь давайте подставим формулы для скорости спутника и Земли:

\[\frac{{r_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}}} = \left(\sqrt{\frac{{r_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}}\right)^2\]

Теперь упростим эту формулу:

\[\frac{{r_{\text{спутника}}}}{{r_{\text{Земли}}}} = \frac{{r_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{спутника}}}}\]

Мы видим, что отношение радиусов орбиты спутника к радиусу Земли равно 1. Это значит, что радиус орбиты спутника и радиус Земли равны между собой.

Итак, ответ на задачу: соотношение радиуса орбиты спутника, находящегося над конкретной точкой Земли, к радиусу Земли равно 1.