Каково сопротивление медного проводника с диаметром 5 мм и длиной 57 км при температуре 40°C?

Магический_Кот

70

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для расчёта сопротивления проводника:

\[ R = \rho \cdot \frac{L}{A} \]

где \( R \) - сопротивление проводника, \( \rho \) - удельное сопротивление материала проводника, \( L \) - длина проводника, а \( A \) - площадь поперечного сечения проводника.

Для начала найдём площадь поперечного сечения проводника. По формуле площади круга:

\[ A = \pi \cdot r^2 \]

где \( r \) - радиус проводника. Диаметр проводника дан в условии, поэтому радиус будет равен половине диаметра:

\[ r = \frac{d}{2} \]

Подставим значения и посчитаем:

\[ r = \frac{5 \, \text{мм}}{2} = 2.5 \, \text{мм} = 0.0025 \, \text{м} \]

\[ A = \pi \cdot (0.0025 \, \text{м})^2 = 1.9635 \times 10^{-5} \, \text{м}^2 \]

Теперь нужно найти удельное сопротивление материала проводника меди при температуре 40°C. Для этого нам понадобится формула:

\[ \rho(T) = \rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T - T_0)) \]

где \( \rho_0 \) - удельное сопротивление материала при температуре \( T_0 \), \( \alpha \) - температурный коэффициент сопротивления, \( T \) - текущая температура.

Удельное сопротивление меди при комнатной температуре (20°C) составляет \( \rho_0 = 1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м} \), а температурный коэффициент сопротивления меди \( \alpha = 0.0039 \, \text{K}^{-1} \).

Подставим значения и найдём удельное сопротивление меди при температуре 40°C:

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot (40°C - 20°C)) \]

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot 20°C) \]

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot 20) \]

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot 20) \]

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot 20) \]

\[ \rho(40°C) = (1.72 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot (1 + 0.0039 \, \text{K}^{-1} \cdot 20) \]

\[ \rho(40°C) = 1.78 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м} \]

Теперь, используя найденные значения длины проводника \( L = 57 \, \text{км} = 57 \times 10^3 \, \text{м} \), площади поперечного сечения проводника \( A = 1.9635 \times 10^{-5} \, \text{м}^2 \) и удельного сопротивления материала меди \( \rho(T) = 1.78 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м} \) при температуре 40°C, найдём сопротивление проводника:

\[ R = \rho(T) \cdot \frac{L}{A} \]

\[ R = (1.78 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}) \cdot \frac{57 \times 10^3 \, \text{м}}{1.9635 \times 10^{-5} \, \text{м}^2} \]

\[ R = 9.623 \, \Omega \]

Таким образом, сопротивление медного проводника с диаметром 5 мм и длиной 57 км при температуре 40°C составляет 9.623 Ом.