Каково сравнение между электроёмкостями точек А и В, и точек А и D, если C1 = C2 = 2C3?

Mariya

57

Чтобы решить эту задачу, давайте введем обозначения для электроёмкостей точек А, В и D. Обозначим электроёмкость точки А как \(C_A\), электроёмкость точки В как \(C_B\), а электроёмкость точки D как \(C_D\).

Мы знаем, что \(C_1 = C_2 = 2C_3\). Теперь давайте воспользуемся формулой для расчета общей электроёмкости, когда конденсаторы соединены последовательно:

\(\frac{1}{C_{\text{общ}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\)

Мы можем использовать эту формулу для вычисления электроёмкости точек А и В:

\(\frac{1}{C_A} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3}\) (1)

\(\frac{1}{C_B} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\) (2)

Также, мы знаем, что электроёмкость точек А и D, обозначенные соответственно \(C_A\) и \(C_D\), равны сумме электроёмкостей точек D и C3, обозначенных как \(C_D\) и \(C_3\):

\(C_A = C_D + C_3\) (3)

Теперь давайте решим систему уравнений, состоящую из уравнений (1), (2) и (3).

Из уравнений (1) и (2) мы можем найти значения \(C_A\) и \(C_B\):

\(\frac{1}{C_A} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2C_3} + \frac{1}{C_3} = \frac{3}{2C_3}\)

Таким образом, электроёмкость точки А равна:

\[C_A = \frac{2C_3}{3}\]

Аналогично, для точки В мы получаем:

\(\frac{1}{C_B} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2C_3} + \frac{1}{C_3} = \frac{3}{2C_3}\)

Таким образом, электроёмкость точки В также равна:

\[C_B = \frac{2C_3}{3}\]

Теперь воспользуемся уравнением (3), чтобы найти сравнение между электроёмкостями точек А и D:

\[C_A = C_D + C_3\]

Заменяем \(C_A\) и \(C_D\) значениями:

\(\frac{2C_3}{3} = C_D + C_3\)

Вычитаем \(C_3\) из обеих сторон уравнения:

\(\frac{2C_3}{3} - C_3 = C_D\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{2C_3 - 3C_3}{3} = C_D\)

\(-\frac{C_3}{3} = C_D\)

Итак, мы получили, что электроёмкость точки D, обозначенная как \(C_D\), равна \(-\frac{C_3}{3}\).

Таким образом, сравнение между электроёмкостями точек А и В заключается в том, что они равны и составляют две трети электроёмкости точки C3:

\(C_A = C_B = \frac{2C_3}{3}\)

А сравнение между электроёмкостями точек А и D заключается в том, что электроёмкость точки D равна отрицательному значению одной трети электроёмкости точки C3:

\(C_D = -\frac{C_3}{3}\)