Каково уравнение эллипса с известной большой полуосью a = 4 и точкой М (-2; 3√3 /2), лежащей на эллипсе? Каково

Морозная_Роза

10

Чтобы определить уравнение эллипса, нам понадобятся координаты его фокусов. Зная большую полуось a и положение точки M на эллипсе, мы можем вычислить расстояние от точки M до фокусов.

Пусть фокусы эллипса имеют координаты (c, 0) и (-c, 0), где c - меньшая полуось эллипса. Для вычисления расстояния от точки M до фокусов нам понадобится формула расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

В данной задаче у нас уже известно, что точка M(-2, 3√3/2) находится на эллипсе с большой полуосью a = 4. Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы вычислить значение меньшей полуоси c.

Для начала найдем расстояние от точки M до центра эллипса. Так как центр находится перпендикулярно между фокусами, то центр находится в точке (0, 0). Мы можем использовать формулу расстояния:

\[d = \sqrt{{(-2 - 0)^2 + \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - 0\right)^2}}\]

\[d = \sqrt{{4 + \frac{27}{4}}} = \sqrt{{\frac{43}{4}}}\]

Так как центр эллипса находится в точке (0, 0), то фокусы будут находиться на расстоянии c от центра. Известно, что большая полуось a = 4, поэтому мы можем записать уравнение эллипса используя следующее соотношение между a и c:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

где b - меньшая полуось эллипса.

Подставляем известные значения:

\[4^2 = b^2 + \left(\sqrt{{\frac{43}{4}}}\right)^2\]

\[16 = b^2 + \frac{43}{4}\]

\[b^2 = 16 - \frac{43}{4} = \frac{64}{4} - \frac{43}{4} = \frac{21}{4}\]

Таким образом, меньшая полуось эллипса равна \(\sqrt{{\frac{21}{4}}}\).

Теперь, зная значения большей полуоси a и меньшей полуоси b, мы можем записать уравнение эллипса:

\[\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{\left(\sqrt{{\frac{21}{4}}}\right)^2} = 1\]

\[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{\frac{21}{4}} = 1\]

\[\frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{21} = 1\]

Это и есть искомое уравнение эллипса.

Теперь давайте найдем расстояние от точки M до фокусов эллипса. Мы уже знаем, что центр эллипса находится в точке (0, 0), а малая полуось равна \(\sqrt{{\frac{21}{4}}}\). Значит, фокусы будут находиться на расстоянии c от центра эллипса, где значение c мы найдем, используя уравнение \(a^2 = b^2 + c^2\):

\[4^2 = \left(\sqrt{{\frac{21}{4}}}\right)^2 + c^2\]

\[16 = \frac{21}{4} + c^2\]

\[c^2 = 16 - \frac{21}{4} = \frac{64}{4} - \frac{21}{4} = \frac{43}{4}\]

\[c = \sqrt{{\frac{43}{4}}}\]

Таким образом, расстояние от точки M до фокусов эллипса равно \(\sqrt{{\frac{43}{4}}}\).

Итак, уравнение эллипса с известной большой полуосью a = 4 и точкой М (-2; 3√3 /2), лежащей на эллипсе, можно записать следующим образом:

\[\frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{21} = 1\]

Расстояние от точки M до фокусов эллипса также равно \(\sqrt{{\frac{43}{4}}}\).