Каково уравнение плоскости, проходящей через точку Е и перпендикулярной вектору EF = 4, -5, 0, при условии, что F

Ledyanoy_Volk_6875

53

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку Е и перпендикулярной вектору EF, нам понадобится использовать некоторую информацию из линейной алгебры.

Сначала мы можем найти вектор, проходящий через точки E и F. Для этого вычислим разность координат векторов E и F:
\[
EF = F - E = (x_F - x_E, y_F - y_E, z_F - z_E).
\]
Используя данные из условия, получим:
\[
EF = (3 - x_E, -1 - y_E, 6 - z_E).
\]

Теперь мы знаем, что плоскость должна быть перпендикулярной вектору EF. Известно, что если плоскость перпендикулярна нормальному вектору, то ее уравнение может быть записано в виде:
\[
Ax + By + Cz = D,
\]
где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, x, y, z - произвольные точки этой плоскости, а D - свободный член.

Таким образом, чтобы найти уравнение плоскости, нам необходимо найти нормальный вектор плоскости. Зная вектор EF, мы можем записать нормальный вектор в виде:
\[
(A, B, C) = EF = (3 - x_E, -1 - y_E, 6 - z_E).
\]

Нам также понадобится значение свободного члена D. Чтобы найти его, мы можем использовать координаты точки E и значения компонент нормального вектора:
\[
D = Ax_E + By_E + Cz_E.
\]
Подставим значения A, B, C и координаты точки E:
\[
D = (3 - x_E) \cdot x_E + (-1 - y_E) \cdot y_E + (6 - z_E) \cdot z_E.
\]

Теперь мы имеем все необходимые данные для записи окончательного уравнения плоскости через точку E и перпендикулярному вектору EF:
\[
(3 - x_E) \cdot x + (-1 - y_E) \cdot y + (6 - z_E) \cdot z = (3 - x_E) \cdot x_E + (-1 - y_E) \cdot y_E + (6 - z_E) \cdot z_E.
\]

Это и есть итоговое уравнение плоскости, проходящей через точку Е и перпендикулярной вектору EF.