Каково уравнение прямой, проходящей через точки M(1;-1) и P(2;0)? Одна прямая параллельна другой, которая имеет

Ластик

22

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки M(1;-1) и P(2;0), мы можем использовать формулу \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты точек M и P соответственно.

Подставляя значения координат:
\(x_1 = 1\), \(y_1 = -1\), \(x_2 = 2\), \(y_2 = 0\), получаем:
\(y - (-1) = \frac{{0 - (-1)}}{{2 - 1}}(x - 1)\).

Упростив уравнение, получаем:
\(y + 1 = \frac{{1}}{{1}}(x - 1)\),
\(y + 1 = x - 1\).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки M(1;-1) и P(2;0), будет \(y = x - 2\).

Для нахождения уравнения параллельной прямой, мы можем использовать свойство, что параллельные прямые имеют одинаковые коэффициенты при \(x\) и \(y\). Уравнение данной параллельной прямой будет иметь ту же самую разность коэффициентов, как в заданном уравнении 2x−3y+4=0. То есть, новое уравнение будет иметь вид \(2x - 3y + c = 0\), где \(c\) - константа.

Мы можем использовать точку M(1;-1), чтобы найти значение константы \(c\). Подставив значения координат M в новое уравнение, получаем:
\(2(1) - 3(-1) + c = 0\),
\(2 + 3 + c = 0\),
\(5 + c = 0\),
\(c = -5\).

Таким образом, уравнение параллельной прямой будет \(2x - 3y - 5 = 0\).

Для того чтобы точки A(5;−4), B(−1;a), C(3;−9) лежали на одной прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Для этих точек можно составить систему уравнений.

Используя формулу \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\), можно составить систему уравнений для трех пар точек:
\[
\begin{cases}
-4 - (-9) = \frac{{a - (-4)}}{{-1 - 3}}((-1) - 5) \\
-4 - (-9) = \frac{{-9 - (-4)}}{{3 - 5}}(5 - 3)
\end{cases}
\]

Упростив уравнения, получаем:
\[
\begin{cases}
5 = \frac{{a + 4}}{{-4}}(-6) \\
5 = \frac{{-5}}{{-2}}(2)
\end{cases}
\]

Далее решим каждое уравнение по отдельности.

Для первого уравнения имеем:
\(5 = \frac{{a + 4}}{{-4}}(-6)\).
Упростим:
\(5 = \frac{{-6a - 24}}{{-4}}\),
\(5 = \frac{{-6a - 24}}{{-4}}\),
\(5 = \frac{{3a + 12}}{{2}}\).

На данном этапе мы можем умножить обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(10 = 3a + 12\).
Затем, вычтем 12 из обеих частей уравнения:
\(10 - 12 = 3a\),
\(-2 = 3a\),
\(a = -\frac{{2}}{{3}}\).

Таким образом, значение \(a\) равно -\(\frac{{2}}{{3}}\), чтобы точки A(5;−4), B(−1;a), C(3;−9) лежали на одной прямой.

Наконец, чтобы найти уравнение медианы ML треугольника MNK, необходимо сначала найти координаты середины стороны МН, затем построить уравнение прямой, проходящей через точку L и середины стороны МН.

Для нахождения координат середины стороны МН, мы можем использовать формулы \(x_{\text{сер}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\) и \(y_{\text{сер}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты точек M и N соответственно.

Подставляя значения координат M(1;-1) и N(2;0):
\(x_{\text{сер}} = \frac{{1 + 2}}{2} = 1.5\),
\(y_{\text{сер}} = \frac{{-1 + 0}}{2} = -0.5\).

Таким образом, координаты середины стороны МН равны (1.5, -0.5).

Теперь у нас есть точка L(1, -3) - вершина треугольника MNK.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку L и середину стороны МН, мы можем использовать формулу \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты точек L и середины стороны МН соответственно.

Подставляя значения координат:
\(x_1 = 1\), \(y_1 = -3\), \(x_2 = 1.5\), \(y_2 = -0.5\), получаем:
\(y - (-3) = \frac{{-0.5 - (-3)}}{{1.5 - 1}}(x - 1)\).

Упростив уравнение, получаем:
\(y + 3 = \frac{{2.5}}{{0.5}}(x - 1)\),
\(y + 3 = 5(x - 1)\).

Таким образом, уравнение, содержащее медиану ML треугольника MNK будет \(y = 5x - 5 - 3\), или, упрощенно, \(y = 5x - 8\).