Каково уравнение сферы, если A (4; –1; –3) и B (0; 3; –1) являются концами диаметра?

Lunya_4318

33

Чтобы найти уравнение сферы, если точки A (4, -1, -3) и B (0, 3, -1) являются концами диаметра, мы можем использовать следующий подход.

Шаг 1: Найдите координаты центра сферы.
Для начала, найдем координаты центра сферы. Для этого нужно найти среднее арифметическое координат двух концов диаметра. Так как координаты точек A и B имеют 3 компоненты каждая, нужно найти среднее значение каждой компоненты.

x-координата центра: \(\frac{{4+0}}{2} = 2\)

y-координата центра: \(\frac{{-1+3}}{2} = 1\)

z-координата центра: \(\frac{{-3-1}}{2} = -2\)

Таким образом, координаты центра сферы равны (2, 1, -2).

Шаг 2: Найдите радиус сферы.
Радиус сферы равен половине длины диаметра, то есть расстоянию между точками A и B, деленному на 2. Для нахождения расстояния между двумя точками на трехмерной плоскости, мы можем использовать формулу расстояния между точками:

\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}}\]

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Применяя формулу, получим:

\[d = \sqrt{{(0 - 4)^2 + (3 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2}}\]

\[d = \sqrt{{(-4)^2 + (4)^2 + (2)^2}}\]

\[d = \sqrt{{16 + 16 + 4}}\]

\[d = \sqrt{{36}} = 6\]

Радиус сферы равен 6.

Шаг 3: Запишите уравнение сферы.
Теперь у нас есть центр сферы (2, 1, -2) и радиус 6. Уравнение сферы можно записать в виде:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]

Где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус.

Подставляем значения в уравнение:

\[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 6^2\]

Уравнение сферы равно \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 36\).

Таким образом, уравнение сферы, если точки A (4, -1, -3) и B (0, 3, -1) являются концами диаметра, равно \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 36\).