Каково уравнение сферы, которая касается трех координатных плоскостей и имеет радиус 3? Сколько существует таких сфер?

Пламенный_Демон

43

Уравнение сферы, которая касается трех координатных плоскостей и имеет радиус 3, можно получить, используя информацию о касательных плоскостях и радиусе.

Для начала нам понадобится знать, как уравнение сферы выглядит в трехмерном пространстве. Общее уравнение сферы имеет вид:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)

Где \(a\), \(b\), и \(c\) - это координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

В данной задаче мы знаем, что сфера касается трех координатных плоскостей, что означает, что каждая из этих плоскостей проходит через центр сферы. Предположим, что эти плоскости определены следующими уравнениями:

Плоскость XY: \(z = 0\)

Плоскость XZ: \(y = 0\)

Плоскость YZ: \(x = 0\)

Так как сфера касается каждой из этих плоскостей, значит, центр сферы будет лежать на пересечении этих плоскостей, то есть на точке \((0, 0, 0)\).

Теперь мы можем записать уравнение сферы, используя центр и радиус:

\((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 3^2\)

Упрощая данное уравнение, получаем:

\(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)

Полученное уравнение описывает сферу, которая касается трех координатных плоскостей и имеет радиус 3.

Теперь касательной плоскостью общего уравнения сферы может быть любая плоскость, которая проходит через точку касания сферы и имеет общую нормаль с ней. Поскольку данная сфера касается трех координатных плоскостей, то у нее есть 3 плоскости касания - XY, XZ и YZ. Каждая из этих плоскостей задается следующими уравнениями:

Плоскость XY: \(z = 0\)

Плоскость XZ: \(y = 0\)

Плоскость YZ: \(x = 0\)

Поэтому существует три сферы, которые касаются трех координатных плоскостей и имеют радиус 3, и их уравнения выглядят следующим образом:
1) \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) (касается XY плоскости)
2) \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) (касается XZ плоскости)
3) \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) (касается YZ плоскости)

Надеюсь, это решение понятно школьнику и полностью отвечает на его вопрос. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!