Каково ускорение свободного падения на планете, которая имеет массу, превышающую массу Земли на 200%, а радиус

Янтарное_9075

43

Для правильного объяснения величин массы и радиуса планеты, необходимо учесть закон всемирного тяготения Ньютона. Закон всемирного тяготения устанавливает, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В нашем случае, мы имеем две планеты - Землю и другую планету, для которой нам нужно определить ускорение свободного падения.

Масса планеты, обозначенная как \(m\) и её радиус \(r\), определяют ускорение свободного падения на этой планете. Масса Земли обозначается как \(m_{З}\), радиус Земли - \(r_{З}\), и ускорение свободного падения на Земле - \(g_{З}\).

Из закона всемирного тяготения Ньютона, мы знаем, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс:

\[F = G \frac{{m_1m_2}}{{r^2}}\]

Где \(F\) - сила гравитационного притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов, а \(r\) - расстояние между ними.

При свободном падении объекта на поверхности планеты, сила тяжести равна силе притяжения между объектом и планетой. Поэтому, мы можем записать следующее:

\[F_{падение} = G \frac{{m_{планеты} \cdot m_{объекта}}}{{r_{планеты}^2}}\]

С другой стороны, ускорение можно определить как отношение силы к массе объекта:

\[F_{падение} = m_{объекта} \cdot a_{падение}\]

Теперь мы можем сравнить силу притяжения для нашей планеты с силой притяжения на Земле:

\[G \frac{{m_{планеты} \cdot m_{объекта}}}{{(2r_{З})^2}} = m_{объекта} \cdot g_{планеты}\]

Зафиксируем, что величина ускорения свободного падения на Земле \(g_{З} = 10 \ м/с^2\). Подставим это значение в уравнение:

\[G \frac{{3m_{З} \cdot m_{объекта}}}{{(2r_{З})^2}} = m_{объекта} \cdot g_{планеты}\]

Упростим эту формулу:

\[G \frac{{3m_{З}}}{{4r_{З}^2}} = g_{планеты}\]

Таким образом, мы получаем соотношение между ускорением свободного падения на нашей планете и ускорением свободного падения на Земле:

\[g_{планеты} = G \frac{{3m_{З}}}{{4r_{З}^2}}\]

Исходя из данной формулы, мы можем определить ускорение свободного падения на данной планете, зная массу и радиус планеты.

Поэтому, для планеты с массой, превышающей массу Земли на 200% (\(3m_{З}\)) и радиусом, превышающим земной на 100% (\(2r_{З}\)), ускорение свободного падения будет равно:

\[g_{планеты} = G \frac{{3m_{З}}}{{4r_{З}^2}}\]

В этом объяснении мы использовали соотношение массы и радиуса планеты относительно Земли (\(m = 3m_{З}\) и \(r = 2r_{З}\)), что было дано в условии задачи, чтобы обосновать формулу для ускорения свободного падения на данной планете.